Два простых примера расчета передаточной функции цепей

Соотношение амплитуд входного и выходного сигналов определяется модулем передаточной функции для данной частоты, а сдвиг фазы выходного сигнала определяется аргументом передаточной функции

Передаточная функция устанавливает связь комплексных амплитуд входного и выходного сигналов

.

Комплексные амплитуды позволяют получить и аналитические выражения входного и выходного сигналов как функций времени

В соответствие с этим зависимость модуля передаточной функции от частоты называют аплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ), а зависимость аргумента передаточной функции от частоты – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Интегрирующая цепочка

Рисунок 1.5

Используя соотношения для мгновенных значений токов и напряжений на конденсаторе и резисторе, получим дифференциальное уравнение для данной цепи

При синусоидальных входных сигналах дифференциальное уравнение для мгновенных значений входного и выходного напряжений трансформируется в алгебраическое уравнение для комплексных амплитуд входного и выходного сигналов

,

откуда получим выражение передаточной функции цепи

.

На рисунке 1.6 показаны АЧХ и ФЧХ данной цепи при постоянной времени t=10 мс. Интегрирующая цепочка является фактически простейшим фильтром нижних частот. Граничная частота полосы пропускания по уровню 0.7 равна f_c=1/2pt. Цепь на этой частоте сдвигает фазу входного сигнала на -45°.

Рисунок 1.6

Более сложная цепь с двумя реактивными элементами показана на рисунке 1.7. Ее называют мостом Вина.

Рисунок 1.7

Эту цепь можно рассматривать как делитель напряжения на двух комплексных сопротивлениях Z₁(jw) и Z₂(jw). При этом передаточную функцию цепи можно записать в следующем виде

.

Рассчитаем сопротивления Z₁(jw) и Z₂(jw)

,

.

Следовательно, передаточная функция цепи равна

.

На рисунке 1.8 показаны АЧХ и ФЧХ этой цепи. Из графиков видно, что мост Вина является низкодобротной резонансной цепью. Резонансная частота равна f₀=2p/t. В точке резонанса коэффициент передачи |W(jw)|=1/3, фазовый сдвиг равен 0°.

Рисунок 1.8