Собственные функции оператора динамической системы

Спектральный метод

Аналоговых и цифровых сигналов

Основные положения теории

Цифровая обработка сигналов

В динамической системе, имеющей один вход и один выход, связь входного u(t) и выходного v(t) сигналов описывается с помощью оператора L (рисунок 1.1)

Рисунок 1.1

При построении математических моделей динамических систем важную роль играет понятие о собственных функциях (собственных сигналах) оператора L. Определением собственной функции оператора L служит следующее равенство

,

из которого следует, что собственный сигнал при прохождении через динамическую систему не изменяет свою форму. Чтобы определить реакцию системы на собственный сигнал, достаточно определить постоянный коэффициент l, который называют собственным числом. Таким образом, при сохранении формы сигнала соотношение между входом и выходом определяется константой (коэффициентом передачи).

В различных областях техники, включая обработку сигналов, часто приходится иметь дело с динамическими системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами

.

Базовым для таких систем является оператор дифференцирования

.

Собственной функцией дифференциального оператора является экспонента

,

а собственным числом – коэффициент при показателе экспоненты p. Обозначив оператор дифференцирования через p, можем записать дифференциальное уравнение системы в следующем виде

.

Важную роль при анализе таких систем имеют синусоидальные сигналы. Синусоидальный сигнал с фиксированной частотой и с произвольными амплитудой и фазой можно рассматривать как действительную часть экспоненциального сигнала

.

Из данного выражения следует, что полную информацию о синусоидальном сигнале дает комплексная амплитуда

,

.

Синусоидальный сигнал (функция времени) и комплексная амплитуда (комплексное число) изоморфны, т.е. по сигналу можно определить комплексную амплитуду и обратно по комплексной амплитуде можно построить синусоидальный сигнал

.

Таким образом, синусоидальный сигнал можно изображать точкой на комплексной плоскости. Связь амплитуды и фазы с действительной и мнимой частями комплексной амплитуды определяется простыми геометрическими соотношениями (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2

При дифференцировании произвольного синусоидального сигнала получим следующее

.

Поставим вопрос, что происходит с комплексной амплитудой синусоидального сигнала при его дифференцировании? Выполнив соответствующие преобразования, получим

т.е. при дифференцировании синусоидального сигнала его комплексная амплитуда умножается на jw. Умножение на w означает изменение амплитуды и размерности сигнала , а умножение на j соответствует сдвигу фазы на p/2. Действительно, легко убедиться, что сигнал с комплексной амплитудой равен производной исходного сигнала

.

Представление синусоидального сигнала (функции времени) комплексной амплитудой (числом) составляет основу символического метода, используемого в электротехнических расчетах цепей переменного тока. Его использование позволяет свести задачу расчетов электрических цепей при синусоидальных входных сигналах в установившемся режиме к сравнительно простой алгебраической задаче.