Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Теорема 1:
Если f(X) непрерывна на [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одно значение x1, такое что f(х1) > f(х) для любого xÎ [a;b]
и по крайней мере точка x2 , такая что f(х2) < f(х) для любого x Î[a;b] x1 ¹ x2
т.е. f(х) непрерывная на [a;b] достигает на нём хотя бы один раз своего наибольшего и своего
наименьшего значения/
Замечание: на (a;b) наибольшего и наименьшего значения может не быть.
Теорема 2:
Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка х = с , a < c < b , такая что f(с) = 0

Геометрически это значит, что график функции в точке х = с пересекает ось ОХ
Теорема 3:
Если y =f(х) непрерывна на [a;b], принимает на концах отрезка неравные значения
f (a) = A и f (b) = B ; A ≠ B , то для любого μ, такого что А < μ < B найдётся точка х = с, а<c<b , в которой выполняется f(с) = μ
Т.е. функция, непрерывная на отрезке, принимает все свои промежуточные значения
Пример на языке ε1 δ1доказать что lim an = a
a = -2
n>3
Определение:
Число «a » называется пределом последовательности an, если для любого ε>0 существует такой номер N, что как только n >N выполняется |an– a|<ε n
Возьмем ε = 0,001


или 
Þ
Þ 
n > 9403 Значит за N можно взять 9403
в точке х = 0 формула не определена, но мы можем найти предел справа:




и предел слева:





Разрыв первого рода:
Пример:исходя из определения непрерывности, доказать, что f (x) непрерывна в точке х0
f (x) = y= x3 −2 точка х0 = 1 