Правило сложения дисперсий

Если совокупность разбита на группы по какому-либо факторному признаку x и по каждой группе рассчитаны групповые средние и дисперсии результативного признака , то можно определить три показателя вариации: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий данной совокупности:

где - общая средняя изучаемого показателя.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого показателя, которая возникает под влиянием факторного признака, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию групповых (частных) средних около общей средней:

где – средняя в i-й группе.

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе.

где - число единиц в каждой группе.

Данные три дисперсии образуют систему:

На основе правила сложения дисперсий рассчитывают эмпирические показатели тесноты зависимости вариации результативного показателя от вариации факторного признака .

Отношение межгрупповой дисперсии к общей называется эмпирическим коэффициентом детерминации:

Корень квадратный из него – эмпирическое корреляционное отношение:

Данный показатель меняется от 0 до 1. Чем он ближе к 1, тем теснее взаимосвязь между изучаемыми показателями.

Пример.По данным таблицы 6.5 определитьобщую дисперсию розничного товарооборота, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Таблица 6.5

Решение. Сначала вычислим средний объем розничного товарооборота для всей совокупности:

Находим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Определяем межгрупповую дисперсию:

Общая дисперсия розничного товарооборота:

Коэффициент детерминации:

Эмпирическое корреляционное отношение:

что означает очень сильную зависимость вариации розничного товарооборота от торговой площади.

Если в совокупности исследуется доля единиц, обладающих тем или иным альтернативным признаком, дисперсия этой доли определяется по формуле:

где p – доля единиц, обладающих данным признаком;

q – доля единиц, не обладающих данным признаком.

Причём:

p + q = 1.

Пример.По данным таблицы 6.6 определить долю рабочих старше 50 лет в целом по пяти предприятиям и общую дисперсию долю.

Таблица 6.6

Решение. Сначала находим общую среднюю долю:

Находим общую дисперсию по формуле :