Фактор-группы

Смежные классы

Инвариантные (нормальные) подгруппы

Группа H называется подгруппой группы G, если она состоит из элементов группы G и сама является группой.

Элемент c=b^-1ab называется трансформацией элемента а с помощью элемента b. При этом элементы с и а называются сопряженными.

b^-1 - обратный элемент для b.

Здесь а и b - элементы группы, а обычное (необозначаемое) умножение, фактически, групповая операция.

Если b^-1 a b = а, то ab = ba (т.к. данная группа абелева, следовательно, коммутативна).

Доказательство: умножим b^-1ab = a слева и справа от знака равенства на b:

bb^-1ab = ba

Теорема: Трансформация разбивает группу на классы сопряженных элементов.

Доказательство:

1. Рефлексивность : a = 1^-1a1

2. Симметричность : c = b^-1ab Þ

bcb^-1 = bb^-1abb^-1

bcb^-1 = a

(b^-1)^-1cb^-1 = a ,пусть B = b^-1

B^-1cB = a, т.е. если а - трансформация с, то с - трансформация а

3. Транзитивность: c = b^-1ab, c=d^-1cd

e = d^-1b^-1abd

e = (bd)^-1abd

e = D^-1aD bdd^-1b^-1 =1, (bd)^-1 (bd)= 1 Û d^-1b^-1 = (bd)^-1

Теорема: Трансформация подгруппы H элементом bÎG есть подгруппа группы G, изоморфная Н.

Доказательство:

1. C₁= b^-1x₁b

C₂= b^-1x₂b , x₁ , x₁ ÎH

C₁C₂= b^-1x₁bb^-1x₂b

2. b^-11b = 1 (т.е. 1 исходной группы остается 1 полученной группы )

3. a = b^-1xb

a^-1 = (b^-1xb)^-1 = b^-1x^-1(b^-1)^-1 = b^-1x^-1b

Т.е. в результате ( 1- 3) мы получаем группу, причем эта процедура сохраняет функциональность, сюръективность, всюду определенность, инъективность, т.е. полученная группа изоморфна исходной.

a²

ab = a²b

b ba²= ab

I a

Подгруппа К группы G называется инвариантной (нормальной), если трансформация любого элемента подгруппы К с помощью любого элемента этой группы дает снова элемент подгруппы К.

K = { I, a, a² } - подгруппа некоторой группы G

ab = ba² = ba^-1 ( или a² × a = I / *a^-1 , a²aa^-1 = Ia^-1 , a² = a^-1 )

b^-1ab = b^-1ba^-1

b^-1ab = a^-1 ( = a²) - трансформация элемента а с помощью элемента b и она есть элемент группы.

5.4. Группа Диэдра (D₃)

D₃ = {I, a, a², b, ba, ba² }

Для этой группы будут следующие определяющие соотношения:

a³ = b² = (ba)² = I

b

Таблица умножения данной группы:

а

В каждой строке и каждом столбце элементы не повторяются.

a. H = {I, B} пусть f(I) = f(b) = I - некоторый гомоморфизм

a = Ia = (ba)²a = babaa = baba²

f(a) = f(baba²) = f(b) f(a) f(a) f(b²) = f(a)f(a²) = (по предположению f(b) = I )

= f(a³) = f(I) = I

f(a²) = f(a) f(a) = I I = I

f(ba) = f(b) f(a) = I I = I

f(ba²) = f(b) f(a²) = I I = I

Т.е. всю группу D₃ можно отобразить в единичный элемент.

а) f f

H = {I, b} D₃ ® G : D₃ ® I

K = {I, a, a²} f f

D₃ ® G: D₃ ® {I, f(b)}

f(I) = f(a) = f(a²) = I

I

f(ba) = f(b)f(a) = f(b)

f(ba²) = f(b) = f(b)f(b) = f(b²) = I

Группы, имеющие единственный (отличный от единицы) элемент такой, что какая-то степень этого элемента дает I, называется циклической группой n-ой степени.

Если для какой-то группы мы осуществляем гомоморфное отображение, причем какая-то ее подгруппа целиком отображается в единичный элемент группы, то такая подгруппа есть ядро гомоморфизма. Обозначается f ^—1(I).

H = {I, b}

aH - смежный (левый) класс для Н, если все элементы Н слева умножены на а.

aH = { a, ab }

a²H = { a², a²b } = { a, ba }

K = {I , a , a² }

bK = { b, ba, ba² }

Все получаемые элементы различны между собой.

Теорема ( Лагранжа ) : Порядок конечной группы кратен порядку любой его подгруппы.

Подгруппа К ( группы G ) есть инвариантная для G, если соответствующие смежные классы для нее совпадают.

Если группа коммутативная, то она инвариантная.

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой.

Смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К образуют группу.

К = { I, a, a² }

bK = { b, ba, ba² }

1) K · K

2) K · bK = bK

3) bK · K = bK

4) bK · bK = K