Морфизмы групп

Понятие группы

Теория групп

Теория групп лежит в основе современной алгебры. Начала ее были созданы молодым гениальным математиком Э. Галуа (1811-1832) как инструмент для оценки возможности решения уравнений высших степеней в радикалах. Однако сфера применения и область интерпретации теории групп с тех пор многократно расширилась. Одна из самых значителных интерпретаций для групп – это различные типы симметрии.

Группу можно задать как алгебру с одной операцией Ä, удовлетворяющей следующим законам:

1. Существование операции.

"xy$z(x Ä y = z)

2. Ассоциативность

"xyz(x Ä (y Ä z)) = ((x Ä y) Ä z)

3. Существование единицы (е)

$е"y(е Ä y = y)

4. Существование обратного элемента.

"x$!y(x Ä y = е)

5. Коммутативность

"xy (x Ä y = y Ä x)

Выполнение лишь первого закона дает группоид. Если дополнительно выполняется второй – полугруппа(популярна при исследовании свойств формальных грамматик).

Выполнение первого, второго и третьего законов дает моноид.

Выполнение аксиом с первой по четвертую дает группу.

Если для группы выполняется также коммутативный закон,то группа называетсяабелевой.

Рассмотрим вращения квадрата вокруг центра до совмещения вершин.

4 3

a₁ = 0⁰ В качестве элементов – углы поворота.

a₂ = 90⁰ В качестве операции - доворачивание.

a₃ = 180⁰ Выполняются все законы для группы.

a₄ = 270⁰

1 2

Например, а₁ ° а₂ = а₂; а₂ ° а₂ = а₃; а₃ ° а₃ = а₁

Популярны со времен Галуа и так называемые подстановки. Можно записать подстановки, соответствующие каждому из четырех вращений предыдущего примера:

æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö

ç ç ç ç ç ç ç ç

è1 2 3 4ø è4 1 2 3ø è3 4 1 2ø è2 3 4 1ø

А в качестве операции взять композицию подстановок. Например,

ç ç ç ç ç ç

è2 3 4 1ø è2 3 4 1ø è3 4 1 2ø

В результате также получится группа.

Возьмем корни уравнения x⁴ – 1 = 0

{1, i, -1, -i} - группа по операции умножения.

Таким образом, мы рассмотрели несколько конечных групп, содержащих по четыре элемента. Эти группы изоморфны между собой.

Например, можно отобразить друг в друга «единичные» элементы:

æ1 2 3 4ö

а₁ « 0⁰ « ç ç « 1

è1 2 3 4ø

Так что речь может идти об абстрактных группах, то есть о таких группах, для которых конкретное множество и конкретная операция несущественны.

Пусть f - некоторое отображение элементов одной группы в другую или в ту же самую и

f (a Ä b) = f(a) Å f(b) a,b Î G; f(a), f(b) Î b₂.

то говорят, что f - гомоморфизм.

Если f(a)=F(b), тогда и только тогда, когда a = b, то имеем изоморфизм(однозначный гомоморфизм).

Гомоморфизм группы в себя называется эндоморфизмом.

Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом.

Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

Изоморфизм в себя называется автоморфизмом.

Пример : { . . .-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }

{ . . .-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . . } - эндоморфизм, эпиморфизм, мономорфизм, изоморфизм, автоморфизм.