Построение и анализ сложных высказываний

Операции над высказываниями

Логика высказываний

Математическая логика

Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение,

относительно которого можно сказать - истинно оно или ложно.

Высказываниями не являются определения, восклицательные и вопросительные предложения, а также логические парадоксы.

Определение: Угол в 90 градусов называется прямым углом.

Восклицание: Смирно!

Вопрос:Кто сказал "мяу"?

Парадокс лжеца: "Я лгу".

Если это высказывание ложь, то я говорю правду.

Но если я говорю правду, то я действительно лгу.

Высказывания будем обозначать отдельными буквами.

Более строго их можно называть элементарными высказываниями.

Главный содержательный парадокс логики высказываний состоит в том, что она не интересуется смыслом высказываний. По образному сравнению логика Клини в математической логике на высказывания смотрят через «рентген», который отбрасывает их содержательный смысл и оставляет только "скелет" высказывания - его истинность.

Истинность может принимать два значения

истинно ложно

и л

true false

t f

но самые популярные обозначения

1 0

которые не следует путать с числами двоичной арифметики.

1.Дизъюнкция (логическое “или”, “логическое сложение”). Наиболее популярные обозначения: Ú и +.

2. Конъюнкция (логическое “и” “логическое умножение”). Наиболее популярные обозначения: ×, Ù и &.

3. Отрицание (логическое “не”). Наиболее популярные обозначения: ù и .

4. Импликация (логическое “если ... , то”, “влечет”) ®.

5. Эквивалентность (логическое “если и только если”) «.

6. Неравнозначность (или “сумма по модулю 2”, или “исключающее или”) Å.

7. Штрих Шеффера (логическое “и-не”) |.

8. Стрелка Пирса (логическое “или-не”) ¯.

Операции сведены в таблицу:

Соглашение о старшинстве некоторых операций (по силе связывания):

ù, &, Ú, ®, «.

В качестве примера возьмем отрывок из Шолом-Алейхема (заимствованный, однако, у Д.А. Поспелова).

“... - Вот, что. Если вы хотите остаться у нас, если вы хотите, чтобы мы стали друзьями.

- Если вы не хотите, чтобы вам пришлось уезжать отсюда, то

- Забросьте книги под стол. Будем играть в шашки, в 66 или будем валяться на кровати и плевать в потолок...”

Придав конкретные значения отдельным элементарным высказываниям, можем определить истинность всего сложного высказывания для этого набора значений.

a - хочешь остаться в доме 1

b - хочешь остаться другом 0

с - захотеть уехать 0

d - забросить под стол книги 1

е - играть в шашки 0

f - играть в 66 1

g - валяться на кровати 1

h - плевать в потолок 0

a & b & (ù c) ® d & (e Ú f Ú g Ú h)

1 0 0 1 0 1 1 0

Другой пример. Пусть на три входа "черного ящика" (х1, х2, х3) подаются (1) или не подаются (0) импульсы во всевозможных сочетаниях. На выходе (f) импульс либо появляется (1), либо отсутствует (0).

Результаты замеров заносятся в «журнал исследований » - таблицу истинности.

Пусть она имеет следующий вид:

Что также можно записать в виде формулы:

f= x1×x2×x3 Ú x1×x2×x3 Ú x1×x2×x3 Ú x1×x2×x3