Теоретико-множественного подходов

Противопоставление системного и

Арифметика бесконечного

Теорема Кантора

Мощность множества R.

Аналогом мощности действительных (вещественных) чисел служит множество точек

на отрезке действительной оси или на всей действительной оси.

Равномощность различных отрезков, а также отрезка и всей прямой показаны на рисунках.

Теорема Кантора.

N < R (À₀ < À₁)

Доказательство.

1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…

Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.

0, а₁¹, а₂¹, а₃¹ ......

0, а₁²,а₂², а₃² ......

0, а₁³,а₂³,а₃³ ...

.

Но здесь отсутствует число 0, b₁, b₂, b₃ ... где a₁¹ ¹ b₁, b₂ ¹ a₂² ... b_n ¹ a_nⁿ

Следовательно, предположение о возможности «пересчитать» множество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 неверно. Действительных чисел больше.

Мощность множества действительных чисел À₁ называется мощностью континуума.

Бесконечных мощностей бесконечно много: À₀ < À₁ < À₂ < À₃ < …

À₀ - самая маленькая бесконечная мощность.

À₀ + A = À₀ À₁ - À₀ = À₁

À₀ + À₀ = À₀ À₀ - A = À₀

À₁ + À₁ = À₁ À₀ - À₀ = À₀

À₁ + À₁ = À₁ À₀ - À₁ = À₁

1. Системы, как и множества, состоят из элементов.

Теория систем исходит из первичности системы, в то время как теоретико-множественный подход считает, что первичен элемент.

2. Естественность системы (в ней нет случайных элементов) и "неразборчивость" множества.

3. Абстракция отождествления для множеств и априорная организация систем.

4. Системам присуща внутренняя организация, множествам - внешняя.