Рис. 7. 6. Отчет по устойчивости для линейных задач
Столбец Целевой коэффициент содержит исходные значения коэффициентов целевой функции. В следующих двух колонках иллюстрируется допустимое увеличение и уменьшение этих коэффициентов без изменения найденного оптимального решения. Так, для нашего случая коэффициент оптимизируемой переменной П1, равный 60, может быть увеличен на 30 порядков (до значения, равного 60+1029) или уменьшен на 12 единиц (до значения 60-1,2*10) без изменения найденного решения (при сохранении без изменений всех остальных переменных). Вы можете проверить это, повторно решив задачу для значений коэффициента целевой функции при переменной П1, находящихся в диапазоне [48,(60+1029)]. Поскольку второе значение диапазона, как нетрудно заметить, представляет собой практически бесконечно большое число, следует говорить о наличии лишь ограничения снизу на значение рассматриваемого коэффициента целевой функции. Аналогично определяются диапазоны возможного изменения коэффициентов целевой функции при остальных переменных.
Вторая часть отчета по устойчивости содержит информацию по ограничениям, накладываемым на оптимизирумые переменные. Первый столбец содержит данные о потребностях в ресурсах для оптимального решения. Во втором столбце указаны значения теневых цен на используемые виды ресурсов (мы поясним их содержание ниже). В третьем столбце мы видим имеющиеся ограничения на объем используемых ресурсов. Последние две колонки содержат данные о возможном увеличении или уменьшении объемов имеющихся ресурсов.
Как видно из отчета по результатам, часть ограничений оказываются связанными. Для ограничений по ресурсам это происходит в том случае, если имеющийся объем ресурсов в процессе реализации оптимального решения используется полностью. (Для ограничений по оптимизируемым переменным это соответствует точному равенству оптимального объема выпуска значению верхней или нижней границы.) Связанность ограничений заставляет нас отказаться от дальнейших поисков улучшений целевой функции. Однако на практике ограничения часто удается преодолевать. Поэтому после решения модели в некоторых случаях Вам бы хотелось определить, как улучшится или ухудшится целевая функция в случае, если определенным образом удастся ослабить то или иное ограничение. Так, например, Вам нужно определить, как увеличится прибыль, если бы имеющийся объем ресурса 2 был увеличен. Столбец "Теневая цена" второй части отчета по устойчивости (Рис. 7.6) содержит данные для ответа на этот вопрос.
Теневая цена ограничения выражает размер изменения целевой функции при увеличении имеющегося объема ресурсов данного вида на единицу (при условии, что все остальные переменные модели не изменятся). Если теневая цена положительна, единичное увеличение соответствующего объема ресурсов приведет к увеличению значения целевой функции. Если же теневая цена данного ресурса отрицательна, увеличение его имеющегося объема на единицу приведет к уменьшению целевой функции.
Так, например, из отчета по устойчивости (Рис. 7.6) видно, что теневая цена ресурса 2 составляет 12,00. Следовательно, если мы увеличим имеющееся количество данного ресурса на некоторую величину, находящуюся в пределах от 0 и до 31, оптимальное значение целевой функции увеличится на 12,00 за каждую единицу увеличения имеющегося объема ресурса 2. Если же мы уменьшим имеющееся количество ресурса 2 на некоторую величину, находящуюся в пределах от 0 до 39, оптимальное значение целевой функции уменьшится на 12,00 за каждую единицу уменьшения имеющегося объема ресурса 2.
Теперь рассмотрим теневые цены на несвязанные ограничения, по которым ресурсы в оптимальном решении используются не полностью (недефицитные ресурсы). В нашем примере таких ограничений два: ограничения по ресурсу 1 и ресурсу 3 (см. Рис. 7.6). Рассмотрим ограничение по ресурсу 1. Ресурс 1 имеет теневую цену, равную 0, при возможном увеличении объема ресурса до бесконечности или уменьшении, находящемся в пределах от 0 до 3,1. Отсюда следует, что при увеличении имеющегося объема ресурса 1 оптимальное значение целевой функции не изменится. Это и не удивительно, поскольку оптимальное решение оставляет 3,1 единицы ресурса 1 неиспользованными, и дальнейшее увеличение этого излишнего запаса не может улучшить оптимального решения. Однако, с другой стороны, поскольку оптимальное решение оставляет 3,1 единицы ресурса 1 неиспользованными, мы можем сократить имеющийся объем этого ресурса на 3,1 единицы, не оказывая влияния на оптимальное решение. Тоже самое мы можем сказать о ресурсе 3, по которому мы можем сократить имеющийся объем ресурса на 49,4 без изменения оптимального решения.
Вернемся опять к связанным ограничениям. Допустим, что мы решили увеличить имеющийся объем ресурса 2 на 30 единиц. Поскольку это увеличение находится в разрешенных пределах (допустимое увеличение составляет 31 единицу), мы вправе ожидать увеличения оптимального значения целевой функции на 12*30=360. Новое оптимальное значение целевой функции составит 1218+360=1578 (см. Табл. 7.14).
Как мы видим на Табл. 7.14, повторное решение задачи с новым значением ограничения по ресурсу 2 не только изменило оптимальное значение целевой функции, оно также определило новые значения оптимизируемых переменных, поскольку коррекция одного из ограничений изменила область существования решения. Отсюда можно сделать важный вывод, который ниже мы поместили в рамку. Итак, в предыдущем примере, увеличив объем ресурса 2 на 30 единиц, мы увеличили прибыль на 1578-1218=360 единиц. При этом правомерен вопрос: "Сколько мы можем платить за такое увеличение объема ресурса?" Ответ прост: "За каждую дополнительную единицу связанного (дефицитного) вида ресурсов мы может платить надбавку, максимальная величина которой равна теневой цене 360/30=12". Даже заплатив такую максимальную надбавку (реально она должна быть меньше), мы получим ту же прибыль, что была до увеличения объема ресурсов.
