Пример 5.1.1

Примеры производственных функций.

Определение и примеры производственных функций.

Раздел 5. Производственные функции

5.1. Свойства производственных функций

Изучаемые вопросы:

· Определение и примеры производственных функций.

· Свойство монотонности. Предельные производительности ресурсов.

· Свойства вогнутости и однородности.

Предположим, что фирма производит один вид продукта, для производства которого использует 2 вида ресурсов. Обозначим через

Y количество, выпускаемой продукции,

x₁ количество первого ресурса,

x₂ количество второго ресурса.

Вектор

X=(x₁, x₂)

будем называть вектором затрат ресурсов.

Производственная функция определяет зависимость между выпуском продукции и вектором затрат ресурсов.

Производственной называется любая функция Y = f(x₁, x₂), которая каждому вектору затрат ресурсов X=(x₁, x₂)ставит в соответствиеколичество продукции Y, которое может быть получено при этих затратах.

Выпуск продукции и затраты ресурсов на микроэкономическом уровне измеряется и в натуральных, и стоимостных показателях, а на макроэконо-мическом уровне – в основном в стоимостных показателях.

Производственную функцию затраты-выпуск (функцию Леонтьева)задают формулой

, (5.1.1)

или

(5.1.2)

где x₁, x₂обозначают затраты каждого ресурса, Y– количество, выпускаемой продукции. Правые части (5.1.2) определяют минимальное количество каждого ресурса, необходимое для производства выпуска продукции Y.

Обозначим через Y количество единиц продукции, выпускаемое фирмой за день, – x₁количество кг затраченного сырья и x₁– продолжительность изготовления продукции на оборудовании в минутах. Производственная функция затраты-выпуск

определяет выпуск продукции при затратах x₁кг сырья и x₁минут работы оборудования. Коэффициенты 2 и 50 означают, что для производства единицы продукции необходимо 2 кг сырья и 50минут работы оборудования. Эти величины называют нормами затрат ресурсов.

Например, выпуск продукции при затратах 100 кг сырья и 10часах работы оборудования составит

единиц продукции.

Из неравенств (5.1.2) определим минимальное количество ресурсов, необходимое для производства Y=12 единиц продукции

т.е. требуется не меньше 24 кг сырья 600 минут работы оборудования. ∎

Мультипликативная производственная функция определяется равенством

, (5.1.3)

где число A определяет шкалу измерения выпуска продукции,параметры

x₁>0, x₂ >0.

В качестве аргументов x₁и x₂мультипликативной функциичасто рассматривают L среднее число работников, занятых в производстве (труд), и Kосновные производственные фонды (капитал). В этом случае мультипликативная функция определяет зависимость выпуска продукции Y от затрат труда L и капитала K по формуле

В частности, при x₁=1- x₂>0 мультипликативная функция

(5.1.4)

называется функцией Кобба-Дугласа.

Пример5.1.2

Допустим, что стоимость выпуска продукции Y связана со стоимостью затрат труда L и основных фондов K

Пусть стоимость основных фондов равна K = 640 000 = 8²100² руб., а стоимость фонда заработной платы – L = 810 000=3⁴10⁴ руб. Тогда стоимость выпуска продукции Y составит

∎