Производственная функция Кобба-Дугласа и ее свойства

Производственная функция – это статистически значимая связь между совокупным выпуском (доходом) и объемами используемых ресурсов.

Модель производственной функции.

Очень важно, чтобы производственная функция объективно отражала моделируемую действительность, т.е. чтобы она удовлетворяла содержательно-логическим и экономическим требованиям. Основные из них следующие:

• в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса факторы;
• все величины должны иметь отчетливый экономический смысл;
• все экономические величины, входящие в производственную функцию, должны быть измеримы;
• выпуск продукции без затрат невозможен;
• если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно;
• увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска.

Обычно предполагается наличие следующих свойств ПФ:

1) выпуск растет при росте затрат каждого фактора

2) Предельная производительность каждого фактора убывает:

3) если один из факторов отсутствует, то выпуск равен нулю:

Функция Кобба-Дугласа получена в результате математического преоб­разования простейшей производственной функции

Y= F(L, К)

в такую мо­дель, которая показывает, какой долей совокупного продукта вознагражда­ется участвующий в его создании фактор производства. Она имеет следую­щий вид:

где α , β изменяются в пределах от 0 до 1, (в частном случае β = 1 – α).

Функция Кобба-Дугласа - модель с двумя переменными факторами производства. Параметр А — коэффициент, отражающий уровень техно­логической производительности и в краткосрочном периоде он не изме­няется. Показатели α и β - коэффициенты эластичности объема выпус­ка (Y) по фактору производства, т. е. по капиталу К и труду L соответ­ственно. При этом, если каждый из факторов оплачивается в соответ­ствии со своим предельным продуктом, то α и β показывают доли капи­тала и труда в совокупном доходе. Иными словами, если цена капита­ла равна предельному продукту капитала, а цена труда равна предель­ному продукту труда, то параметры а и b определяют пропорцию, в ко­торой труд и капитал получают свое вознаграждение за созданный про­дукт, т. е. долю капитала в доходе aY и долю труда в доходе bY. Так как β = 1 - α, то β + α = 1, из чего следует, что мы имеем дело с постоянной отдачей от масштаба.

Интересно рассмотреть эмпирические значения параметров функции Кобба-Дугласа; А = 1,1; α = 1/4; β = 3/4. Следовательно, доля капитала в национальном доходе составляет 25%, а доля тру­да - 75%.

В поисках путей наибольшей эффективности производства нас всегда должна интересовать предельная производительность участвующих в нем факторов, с помощью которой определяется оптимальный объем исполь­зуемых ресурсов. Предельный продукт капитала МР_K пропорционален от­ношению доли капитала в доходе к объему использованного капитала:

МР_K = α Y/ К.

Следует из соотношения:

Аналогично определяется и предельная производительность труда:

МP_L = β Y/L.

Следует из соотношения:

Рассмотрим свойства производственной функции Кобба-Дугласа.

Первое свойство

Второе свойство

если α +β = 1-постоянство отдачи от масштаба –

описывается формулой F(λK, λL) = λ АК^a L ^b

и означает, что если увеличить использова­ние капитала и труда в λ раз, то объем совокупного выпуска, или объем до­хода, возрастет в такое же число раз.

=====================================================

Замечание. Существует более широкое определение однородной функции:

Обозначим: Y – валовой выпуск;

К - производственные фонды (капитал); L - живой труд. F – производственная функция, т.е. .

Пусть λ и γ некоторые числа. F является однородной если выполняется соотношение

Третье важное свойство функции Кобба-Дугласа связано сизменением предельной производительности факторов. Например, если привлечь в производство дополнительное количество капитала К, а труд L использо­вать в прежнем объеме, то, при прочих равных условиях, предельная про­изводительность труда МР_L увеличится, а предельная производительность возросшего объема капитала МР_K снизится. Если же увеличить количество труда, при прочих равных условиях, то его предельная производительность снизится, а предельная производительность капитала возрастет.

Вывод:

нарушение пропорции между трудом и капиталом при заданной технологии приводит к отклонению от оптимального объема производства, т. е. к неэффективности производства.

Однако, если мы увеличим параметр А, например, внедрив более производительную технологию, то получим одновременное повышение МР_K и МР_L , что является условием интенсивного экономического роста.

Третье свойство производственной функции Кобба-Дугласа -постоянство отношения дохода от труда к доходу от капитала (b/a), т. е. постоянство соотношения долей капитала и труда в национальном продукте.

Исследования американского сенатора и экономиста Пола Дугласа показали, что в Соединенных Штатах за сорок лет (с 1948 по 1989 гг.) соотношение b/а колебалось в пределах между 2 и 9, в результате чего оплата труда в 2-3 раза превышала вознаграждение капитала. Можно предполо­жить, что постоянные рамки колебания соотношения (b/а) заданы техноло­гически. Колебания b/a внутри этих рамок могут быть объяснены откло­нением в соотношении I и S, так как вряд ли заработная плата, шкала на­логообложения и нормы амортизации почти ежегодно могли претерпевать значительные изменения.

Важное обобщение для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеет вид

При этом сумма коэффициентов ()характеризует обобщенную эластичность производства.

Построение производственной функции Кобба-Дугласа для оценки национального дохода США.

Производственная функция Кобба-Дугласа:

Y = AK^αL^β ,

показывающая зависимость реального объема выпуска Y от капитальных затрат K и затрат труда L. Для нахождения коэффициентов функции Кобба-Дугласа α и β прологарифмируем обе части равенства:

ln Y = ln(AK^αL^β ),

ln Y = ln A + α ln K + β ln L .

Заменим:

lnY = y ,

lnK = k ,

ln L = l ,

ln A = c .

Получим множественную линейную регрессию y = c + ak + bl . Коэффициенты a,b,c этой регрессии можно найти, решив систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, как было написано выше.

Экономическая интерпретация коэффициентов а и b функции Кобба- Дугласа Y = AK^αL^β : при увеличении капиталовложений на 1% от своего среднего значения реальный объем выпуска увеличится на α % от своего среднего значения, а при увеличении затрат труда на 1% от своего среднего значения реальный объем выпуска увеличится на β % от своего среднего значения.

Пример. Построить производственную функцию Кобба-Дугласа для оценки национального дохода США по следующим данным: Y –

национальный доход США, млрд. долл., K – капиталовложения, млрд. долл.,

L – общее число занятых в экономике, тыс. чел.

Источник данных: www.bls.gov, www.economagic.com.

Произведем все необходимые вычисления в Excel, используя Сервис/

Анализ данных/Регрессия. В диалоговом окне ввода данных и параметров

вывода входной интервал Y – колонка «lnY», а входной интервал X –

колонки «lnK» и «lnL».

Результаты множественной линейной регрессии ln Y = ln A + a ln K + b ln L

представлены ниже:

ВЫВОД ИТОГОВ

Возвращаясь к исходным коэффициентам функции Кобба-Дугласа

Y = AK^αL^β , получим:

lnA=0,862,

A= 2,367.

Таким образом, производственная функция имеет вид: Y = 2,367 K^0,956 L ^0,129 .Это означает, что увеличении капиталовложений на 1% от своего среднего значения национальный доход США увеличивается на 0,956% от своего среднего значения, а при увеличении численности занятых в экономике на 1% от своего среднего значения национальный доход увеличится на 0,129 от своего среднего значения.