Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов

Математическое ожидание и генеральная дисперсия оцениваются выборочным средним и дисперсией выборки тем точнее, чем больше ее объем. При этом среднее характеризует результат измерений, а дисперсия – точность этого результата.

Предположим, анализируются n различных проб. Если производить определение выборочной дисперсии для каждой пробы отдельно, то потребуется очень много времени. Чтобы сократить количество анализов и время на их выполнение, расчет дисперсии производят сразу по всем пробам. Пусть при анализе каждой пробы выполнено параллельное число опытов: m₁, m₂, ... m_n. Число степеней свободы частных дисперсий соответственно определяется как: f₁ = m₁ – 1, f₂ = m₂ – 1, ... , f_n = m_n – 1. Общая дисперсия воспроизводимости всех опытов будет равна средневзвешенному значению частных дисперсий, где в качестве весов берутся степени свободы:

. (5.44)

Учитывая, что число степеней общей дисперсии

, (5.45)

а частные дисперсии определяются по формуле

, (5.46)

из уравнения (5.45) имеем

. (5.47)

Число степеней свободы общей дисперсии воспроизводимости, определяемой по формуле (5.47), гораздо больше, чем у каждой дисперсии в отдельности. Поэтому общая дисперсия воспроизводимости намного точнее оценивает дисперсию генеральной совокупности s².

При вычислении дисперсии воспроизводимости по серии опытов объединяют только те пробы, которые можно рассматривать как выборки из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной
случайной величины

Дисперсию генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки – выборочной дисперсии .

При числе степеней свободы f < 30 распределение выборочной дисперсии можно получить с помощью распределения Пирсона или – распределения. В этом случае доверительные двусторонние границы для генеральной дисперсии определяются выражением

. (5.48)

Для односторонней доверительной оценки используются соответственно квантили и . Значения квантилей распределения Пирсона приведены в приложении 2.

При числе степеней свободы f ≥ 30 доверительные границы для генерального стандарта определяются неравенством

. (5.49)