Нормальное распределение

Равномерное распределение

Равномерным называется распределение, для которого плотность вероятности f(x) постоянна в определенных пределах и равна нулю вне этих пределов (рис. 5.4),

. (5.27)

Другими словами равномерным называется распределение такой случайной величины, появление любого значения которой равновероятно.

Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице c(b – a) = 1, то в формуле (5.27) с = 1/(b – a).

Функция распределения (рис. 5.5) задается выражением:

. (5.28)

Рис. 5.4. Плотность вероятности равномерного распределения	Рис. 5.5. Функция равномерного распределения

Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины Х определяется как

. (5.29)

В силу симметричности равномерного распределения медиана величины Х также определяется как х_0,5 = (a + b)/2. Дисперсия случайной величины Х

. (5.30)

Случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид

, (5.31)

где –¥ < x < ¥.

Функция распределения

. (5.32)

Плотность и функция распределения нормированной случайной величины соответственно определяются как

, (5.33)

. (5.34)

Нормальное распределение нормированной случайной величины называется стандартным.

Графики плотности и функции нормального распределения нормированной случайной величины приведены на рис. 5.6, а, б.

Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Нормальный закон при некоторых условиях является предельным законом для суммы большого числа n независимых случайных величин, каждая из которых подчинена какому-либо закону распределения. Основное ограничение состоит в том, чтобы все слагаемые играли в общей сумме относительно малую роль. Если у явлений множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) факторов, то закон распределения таких явлений близок к нормальному. Нормальный закон распределения широко используется при обработке наблюдений.

Рис. 5.6. Плотность (а) и функция (б) нормального распределения

Нормальное распределение содержит минимум информации по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следовательно, замена некоторого распределения эквивалентным нормальным не может привести к переоценке точности наблюдений. График плотности распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Функция

называется функцией Лапласа,

. (5.36)

Функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(–х) = –Ф(х), поэтому таблицы значений Ф(х) составлены только для х > 0.