Линейная множественная регрессия.

Нелинейная парная регрессия.

Y_x=a₀+a₁x+a₂x²

Значение величин ХУ представлены двумя рядами данных, если бы все значения полученные по данным наблюдения лежали бы строго на кривой, описываемой уравнением параболы то не существовало бы ни каких проблем однако на практике имеем разность между данными наблюдения и данными полученными по уравнению связи эта разность как раз и появляется в силу наличия ошибок упрощения, поэтому возникает проблема нахождения таких коэффициентов регрессии, при которых ошибка была бы минимальной. Оптимальным является оценка ошибки по методу наименьших квадратов.

S=∑(y-a₀-a₁x-a₂x²)²→min

Для нахождения значений неизвестных коэффициентов при которых функция была бы минимальной необходимо приравнять частное производное по этим величинам к нулю.

Проделав простейшие преобразования получим систему нормальных уравнений.

Решив систему найдем значения неизвестных коэффициентов а0, а1, а2 и получим уравнение регрессии.

Общего подхода к нахождению такой зависимости нет.

Нельзя без предварительных условий и определения вида функции найти зависимость. Чаще всего эти зависимости находятся на основе теоретических соображений либо методом проб и ошибок: методом испытания различных кривых. Наиболее строго этот вопрос решен для линейных уравнений. Если каждая из этих величин подчиняется нормальному закону распределения то уравнение регрессии для таких величин определяется системой нормальных уравнений.

X_0рi-x_0sr=a₁(x_1i-x_1sr)+a₂(x_2i-x_2sr)+…

Z_0рi= x_0рi-x_0sr; Z_0i= a₁*z_1i+…

Найдем «а» для этого применим метод наименьших квадратов. Найдем минимум средне квадратической ошибки Z_0рi от Z_0i :

Из этого уравнения найдем а1, а2 и тд предполагая что они отвечают минимуму средней квадратической ошибки для этого при известных значениях z необходимо взять частные производные.

раскрывая скобки и перенося в правую часть элементы содержащие Z_0i получим

данная система уравнений по отношению к коэффициенту «а» является линейной и решается любым из известных методов(ну как матрицу решали помнишь?)))