Некоторые определения

Некоторые определения

Некоторые определения

Некоторые определения

1. Пусть М = {a₁ , a₂, ..., а_m} – множество вещественных чисел R

Подмножество М на­зывают ограниченным сверху, если все его элементы не пре­восходят некоторого с R, где с называют верхней границей для М.

2. Для каждого ограниченного сверху непу­стого множества MR среди его верхних границ имеется минимальная, которую называют супремумом множества М и обозначают через sup M. Если же множество MR не является ограниченным сверху, то пишут sup M=+.

Множество М R называют ограниченным снизу, если все его элементы не меньше некоторого числа с R.

Соответствующие с R называют нижними грани­цами, а наибольшую из них — инфимумом множества М, который обозначают через inf M.

Если же множество MR не является ограниченным снизу, то пишут

inf M =-.

3. Не каждое ограниченное сверху множество MR имеет наибольший элемент, обозначаемый обычно через max М. Однако если такой элемент существует, то max М = sup М.

Если в множестве MR име­ется наименьший элемент, обозначаемый через min M, то это множество является ограниченным снизу и при этом min М= inf M.

5. Система векторов x₁, x₂,…,x_r, r≥2, называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой – в противном случае.

6. Максимальное число линейно независимых векторов в n-мерном пространстве равно n.

7. Любая совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства образует базис n-мерного пространства.

8. Какова бы ни была прямоугольная матрица

,

максимальное число линейно независимых строк (т. е. со­ответствующих n-мерных векторов) совпадает с максималь­ным числом линейно независимых столбцов (т. е. соответ­ствующих m-мерных векторов). Это число называется ран­гом матрицы А. При этом квадратную матрицу

порядка m называют неособенной, если ее ранг r совпадает с m. Если отвечающая системе линейных уравнений квадратная матрица А является неособенной, то эта система имеет единственное решение при любых свободных членах .