Проверка однородности (анормальности) измерений по квантилям распределения b.

Имеется упорядоченная выборка X₁ , X₂ , X₃ ,...X_n значений случайной величины X.

а) Вычисляется математическое ожидание выборки

(1)

где n – объем выборки;

x_i – значения случайных величин;

б) вычисляется выборочная дисперсия ( ) и среднеквадратическое отклонение (S_x).

(2)

Вначале оценивается принадлежность крайних элементов выборки X_min, X_max к данной нормальной совокупности.

Для этого составляются статистики (U_max, U_min)

(3)

подчиняющиеся b- закону распределения, который зависит только от объема выборки (n). Значения квантилей распределения находятся по таблице Б.1 (Приложение Б). Полученные значения U_max и U_min сравнивают с величиной , взятой из таблицы для данного объема выборки и принятого уровня значимости (= 0.05),

если U _{min max} b (4)

то результат X_min или X_max анормален и из выборки исключается. Все параметры выборки после этого нужно пересчитать. В противном случае результаты считают однородным и из выборки не исключают.

3.2 Сравнение двух или нескольких дисперсий

При обработке результатов измерений характеристик технологического процесса часто возникает необходимость сравнить две или несколько дисперсий. Цель сравнения - выявить, можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии, то есть, являются ли сравниваемые дисперсии однородными.

3.2.1 Сравнение двух дисперсий

Рассмотрим две выборки:

X₁,X₂,X₃,.....X_n; Y₁,Y₂,Y₃,...Y_k;

а) вычисляем математическое ожидание каждой выборки по формулам:

б) вычисляем выборочные дисперсии:

;

;

где n- объем выборки X;

к- объем выборки Y.

в) вычисляем степени свободы выборок (f_n, f_k)

f_n = n -1 ; f_k = k - 1; (5)

Проверка однородности двух дисперсий производится по критерию Фишера (F - распределение). F - распределение зависит от числа степеней свободы выборок f_x , f_k и уровня значимости a.

Вычисляем расчетный критерий Фишера (F) по формуле

(6)

при условии, что , в противном случае .

Затем по таблице Б.2 выбираем критерий Фишера. Дисперсии однородны (являются оценкой одной генеральной дисперсии) если F_расч.<F_табл . В противном случае дисперсии неоднородны, следует более внимательно проверить анормальность результатов и проверить однородность дисперсий заново.

3.2.2 Сравнение нескольких дисперсий

Сравнение нескольких дисперсий проводят по критерию Кохрена или Бартлета. Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов, то есть с равными степенями свободы, то для их сравнения используют критерий Кохрена (G):

(7)

где -выборочная дисперсия каждой выборки,

-максимальная выборочная дисперсия,

n - количество суммируемых дисперсий.

Затем по таблице Б.3 “Квантили распределения Кохрена” находят табличный критерий Кохрена (G табл.), который зависит от количества степеней свободы (f), при оценке каждой из (f = n -1), от количества дисперсий (n) и от уровня значимости a .

Если G _расч. окажется меньше G _табл. дисперсии однородны, то есть являются оценкой одной генеральной дисперсии. В противном случае дисперсии неоднородны и следует проверить анормальность результатов измерений в каждой выборке, в первую очередь в выборке, по результатам которой вычислена , a затем повторить все расчеты заново.

Если выборочные дисперсии получены по выборкам разного объема, то есть с разными степенями свободы, то проверка их однородности проводится по критерию Бартлета. Но расчет этого критерия несколько трудоемок. В этом случае можно пользоваться сравнением по критерию Фишера. Этот метод менее точен, но предельно прост.

Для расчета критерия Фишера в данном случае можно взять наибольшую и наименьшую из сравниваемых дисперсий. При этом . F_табл. находится по таблице Б.2 “Квантили распределения Фишера” аналогично, описанному в разделе 3.2.1.

Если , дисперсии однородны.

3.3 Сравнение двух средних

Задача сравнения средних значений выборок (выборочных математических ожиданий) - также одна из самых распространенных. Цель сравнения - выявить, можно ли считать сравниваемые средние значения выборок (математических ожиданий) оценками одного и того же генерального математического ожидания, то есть являются ли сравниваемые средние однородными. Однородность сравниваемых средних говорит о том, что эти выборки принадлежат к одной генеральной совокупности. Необходимо заметить следующее: если сравниваемые выборки имеют неоднородные дисперсии, то процедура сравнения резко усложняется. В этом случае можно рекомендовать специальные методы, которые в данном курсе не рассматриваются. Рассматриваемый здесь метод предполагает, что дисперсии однородны, то есть .

Предварительно рассчитываем среднюю дисперсию по формуле:

(8)

где - выборочные дисперсии первой и второй выборок;

,степени свободы сравниваемых выборок.

Для сравнения двух средних арифметических используют критерий Стьюдента (t - критерий). Расчетное значение критерия Стьюдента вычисляют по следующей формуле:

(9)

где X₁,Х₂ - средние арифметические (математические ожидания) сравниваемых выборок;

n ₁,n₂ -объем сравниваемых выборок.

Табличный критерий Стьюдента находится по таблице Б.4“Квантили распределения Стьюдента”, который зависит от числа степеней свободы выборок (f) и уровня значимости (a). Число степеней свободы выборок , при этом следует учесть, что ; . Если , то и есть оценки одного генерального математического ожидания, а выборки относятся к одной генеральной совокупности.

При сравнении нескольких средних можно также использовать критерий Стьюдента, проводя сравнения попарно. Однако, для использования при сравнении полной информации о всех средних такое сравнение проводят при помощи множественного рангового критерия Дункана. В данном курсе этот метод не рассматривается.

4 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Метод проверки статистических гипотез можно использовать для сравнения эффективности двух технологических процессов. Рассмотрим это на следующем примере:

Условие задачи. Очистку химического вещества от примесей железа проводили двумя различными способами. Необходимо определить какой способ очистки эффективнее. Результаты опытов (по 7 опытов по каждому способу) приведены в таблице 2.

Таблица 2 Результаты опытов по первому и второму способам

; ;

; ;

Расчет проводится в следующей последовательности:

1 Проверка анормальности результатов

а) вычисляем по формулам (1), (2) математическое ожидание и дисперсии выборок Х₁ и Х₂;

б) Вычисляем статистики по формулам (3) для выборок X₁ и X₂ :

для выборки получаем:

;

для выборки получаем:

;

По таблице Б.1 находим квантиль распределения b при объеме выборки равном 7 и уровне значимости a = 0,05

b;

Сравнение с вычисленными статистиками показывает, что максимальный элемент выборки анормален, так как 2.2>1.94, а остальные результаты однородны.

Анормальный результат исключаем из выборки. В выборке осталось 6 опытов. Далее необходимо проверить в оставшейся выборке максимальный элемент на анормальность. Для этого следует пересчитать математическое ожидание и дисперсию оставшейся выборки

;

вычисляем U_max=(0.053- 0.0475)/= 1.22

b_табл.=1,82 при n=6, a=0,05;

U_max=1,22<b=1,82

следовательно, результаты однородны.

2 Проверка однородности двух дисперсий

а) вычисляем расчетный критерий Фишера по формуле (6)

F_расч.==1,99

F_табл.= 5.0 при числе степеней свободы числителя (выборка X₂) f2=n-1=7-1=6, a знаменателя (выборка X₁ ) f₁=(n -1) = 6 -1 =5, уровене значимости a =0.05

F_расч.<F_табл.; 1,99 < 5.0

Следовательно, дисперсии однородны и можно продолжать расчеты дальше.

3 Сравнение двух средних

Поскольку дисперсии однородны, можно вычислить среднюю дисперсию двух выборок по формуле (8)

S²==3.25*10^-5

Рассчитываем критерий Стьюдента по формуле (9)

t_расч.=*=2.36

t _табл. = 2.2 при числе степеней свободы f = f₁+ f₂=5 + 6 = 11 и уровне значимости a=0.05

t_расч.= 2.36 > t_табл.= 2.2

Следовательно, X₁ и X₂ не являются оценкой одного генерального

математического ожидания и выборки X₁ и X₂ не относятся к одной генеральной совокупности.

Вывод: с вероятностью допустить ошибку, равной 5%, можно утверждать, что способы очистки химического вещества от примесей дают продукт разной чистоты, то есть имеют разную эффективность. Первый способ менее эффективен, чем второй, так как X₁ > X2 , т. е. по первому способу примесей железа остается больше, чем по второму.

5. ВОПРСЫ ДЛЯ ПОГОТОВКИ К ЗАЩИТЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

1 Дать определение понятия модели, математической модели.

2 Перечислить основные требования, предъявляемые к моделированию.

3 Перечислить этапы математического моделирования.

4 Охарактеризовать подходы, применяемые для получения математической модели.

5 В чем сущность принципа «черного ящика»?

6 Дать определение основных характеристик случайных величин (вероятность, функция распределения, математическое ожидание, дисперсия).

7 В чем отличие нормально-распределенных и нормированных величин?

8 Дать определение понятий генеральная совокупность, выборка.

9 Дать определение понятия оценки истинных значений.

10 Перечислите требования, предъявляемые к оценкам истинных значений.

11 Что является оценкой истинного значения математического ожидания и дисперсии?

12 Дать определение понятия степени свободы выборки.

13 Чем вызвана необходимость учета степени свободы в расчетах характеристик случайных величин?

14 Охарактеризовать доверительный интервал, доверительную вероятность.

15 Что характеризует уровень значимости?

16 Опишите порядок проверки однородности результатов измерений.

17.Опишите порядок сравнения двух или нескольких дисперсий.

18 Опишите порядок сравнения двух средних .