Асимметрия и эксцесс. Проверка нормальности распределения.

Асимметрия – это показатель симметричности / скошенности кривой распределения, а эксцесс определяет ее островершинность.

При левостронней асимметрии ее показатель является положительным и в распределении преобладают более низкие значения признака. При правостронней – показатель положительный и преобладают более высокие значения. У всех симметричных распеделений (в том числе и у нормального распределения) величина асимметрии равна нулю. Формула показателя асимметрии является следующей:

Если в распределении преобладают значения близкие к среднему арифметическому, то формируется островершинное распределение. В этом случае показатель эксцесса стремится к положительной величине. У нормального распределения эксцесс равен нулю. Если у распределения 2 вершины (бимодальное распределение), то тогда эксцесс стремится к отрицательной величине. Показатель эксцесса определяется по формуле:

Распределение оценивается как предположительно близкое к нормальному, если установлено, что от 50 до 80 % всех значений располагаются в пределах одного стандартного отклонения от среднего арифметического, и коэффициент эксцесса по абсолютной величине не превышает значения равного двум.

Распределение считается достоверно нормальным если абсолютная величина показателей асимметрии и эксцесса меньше их ошибок репрезентативности в 3 и более раз.

Постановка задачи: определить или опровергнуть факт нормальности распределения показателей субтеста «аналогии» из Таблицы данных Приложения (взято первые 20 случаев).

№	х_i	x_i-M_x	(x_i-M_x)²	(x_i-M_x)³	(x_i-M_x)⁴

		-1		-1
		-1		-1
		-1		-1
		-5		-125
		-1		-1
		-2		-8



		-3		-27
		-3		-27




		-2		-8
		-1		-1


S

Для обработки данных понадобятся следующие последовательные шаги: вычисление M_x, s, А, Е по уже известным формулам. Необходимо также определение ошибок репрезентативности асимметрии и эксцесса:

В нашем случае:

Как уже было сказано выше, принцип определения нормальности-ненормальности распределения является следующим:

В нашем случае:

m_A * 3 = 0,55 * 3 = 1,65 > ½А½

m_E * 3 = 1,1 * 3 = 3,3 > ½E½

Поскольку оба показателя не превышают в 3 раза свою собственную ошибку репрезентативности, можно заключить, что распределение показателей субтеста «аналогии» соответствует нормальному.