Свойства функции распределения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Вспомним, чтодискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей.

Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а,b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя.

Этот пример указывает на целесообразностьдатьобщий спо­соб задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводятпонятие функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х — действительное число. Вероятность события, состоящего в том. что Х примет значение, меньшее х. т. е.

Функцией распределенияназывают функцию F (х), опре­деляющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

Геометрически это равенство можно истолковать так:

F (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Теперь можно дать более точное определение непре­рывной случайной величины:случайную величину назы­вают непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.

Свойство 1.Значения функции распределения принадлежат отрезку [a, b]:

Доказательство. Свойство вытекает из опреде­ления функции распределения как вероятности: вероят­ность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F (х) —неубывающая функция, т. е.

По теореме сложения имеем

Отсюда

или

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом ин­тервале:

Это важное следствие вытекает из формулы (*), если

Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет зна­чение. принадлежащее интервалу (0. 2):

Решение. Так как на интервале (0, 2), по условию,