Лекция №6 Оптимальное проектирование газотурбинных двигателей

Постановка задачи оптимизации

Многообразие условий применения авиационных ГТД в сило­вых установках летательных аппаратов и многочисленность показа­телей качества двигательных установок крайне усложняют задачу выбора оптимальных параметров рабочего процесса авиационного двигателя. При выборе параметров рабочего процесса конструктору необходимо одновременно удовлетворять большому количеству тре­бований, как правило, противоречивых с позиции их возможной реа­лизации.

В общем случае любой двигатель должен обеспечивать задан­ную тягу при минимально возможных (при комплексном или ком­промиссном рассмотрении) показателях таких как: расход топлива, масса конструкции, габариты (миделевый размер, длина, объем), вредное воздействие на окружающую среду, стоимость жизненного цикла и пр.

Формализовать критериальный выбор параметров с всесторон­ней проработкой по обеспечению оптимальных технико-экономических критериев эффективности двигателя во всех заданных условиях эксплуатации, т.е. всех требований, как правило, не пред­ставляется возможным. Это связано с трудностями, обусловленными не только большим количеством критериев по номенклатуре, но и противоречивостью их, отсутствием возможности аналитической формализации и т. д. Поэтому методология системного проектирова­ния базируется на следующих основных положениях об оптимально­сти систем:

1. В общем случае система, состоящая из оптимальных элементов (подсистем), необязательно будет оптимальной. Она должна оптими­зироваться в целом, как единый объект с заданным целевым назначе­нием. Например, минимизация по массе компрессора, турбины и ка­меры сгорания необязательно минимизирует массу двигателя в це­лом. (Это, однако, не означает, что оптимизация по частям вообще не имеет смысла.):

2. Поскольку система оптимизируется в условиях количественно определенных ограничений на оптимизируемые параметры, ее опти­мальность всегда относительна, условна;

3. Выбор критериев оптимизации должен опираться на принцип
оптимальности, в соответствии с которым, если объекты элементов и
подсистем всех уровней оптимальны по критериям, соответствующим системам более высокого уровня, вся система оптимальна.

Несмотря на эти трудности, автоматизированное проектирова­ние всегда является оптимальным проектированием, так как на ЭВМ все-таки можно, при определенных допущениях, организовать выбор оптимальных параметров и получить при этом значительный эффект. В тех, сравнительно редких случаях, когда задачу удается полностью формализовать, то она сводится к обычной и хорошо известной зада­че нелинейной оптимизации

F(X)_opt=minF(X), при XÎΩ_X;

где X - вектор варьируемых параметров;

F - функция цели (критерий оптимизации);

Ω_X - область поиска, определяемая ограничениями первого и второго рода.

Это означает, что необходимо найти такое зна­чение вектора варьируемых параметров Х~(х₁,х₂,.,.,х_n), которое обес­печивает минимальное значение функции цели в заданной области поиска Ω_X. Если необходимо найти не минимальное, а максимальное значение, то просто изменяется знак функции цели.

Варьируемые параметры и ограничения первого рода

Выбор варьируемых параметров, т.е. параметров, значения которых изменяют в процессе оптимального поиска, зависит от этапа проектирова­ния и уровня сложности используемой математической модели. На этапе технического предложения осуществляется предварительный выбор оптимальных параметров двигателя, а точнее схемы двигателя, поэтому варьируемыми параметрами они и являются. В первую оче­редь, это степени повышения давления в компрессорах или суммар­ная степень повышения давления. В двухконтурных двигателях до­бавляется степень двухконтурности. Температура газа перед турби­ной обычно не варьируется, а принимается максимально возможной. Она может варьироваться на последующих этапах проектирования, когда в модель включается прочностной расчет, и в качестве ограни­чений второго рода используются запасы прочности в наиболее на­груженных деталях турбины,

Для каждого из выбранных варьируемых параметров задаются пределы возможного изменения, которые и являются ограничениями первого рода. Величина их чаще всего выбирается по статистическим данным или просто по физическому смыслу параметра. Нельзя при этом забывать, что статистика всегда направлена в прошлое, поэтому ее надо корректировать. Параметры заведомо устаревших двигателей нельзя включать в статистику. Нужно примерно прогнозировать воз­можное изменение параметров у перспективных двигателей или про­сто предусматривать некоторый запас в сторону возможного измене­ния параметров. Например, отчетливо прослеживается рост суммар­ной степени повышения давления по годам, поэтому величину огра­ничения на нее нужно задавать выше, чем у любого из существую­щих двигателей, т.е. с запасом. Конечно, в результате оптимизации полученное значение оптимальной степени повышения давления бу­дет меньше, чем заданное ограничение, но важно, чтобы оно не пре­пятствовало оптимизации искусственно. В любом случае надо исхо­дить из того, что область поиска, выделяемая всеми ограничениями первого рода, должна, быть, возможно, меньше для сокращения вре­мени расчетов, но все возможные оптимумы должны находиться внутри этой области с некоторым запасом на возможные неточности предварительных расчетов.

После разработки хотя бы предварительной компоновки, в каче­стве варьируемых параметров используются основные размеры про­точной части двигателя, а для этого приходится повышать уровень сложности используемых математических моделей.

Ограничения второго рода

Ограничения второго рода или функциональные ограничения обычно являются неравенствами вида:

.

В большинстве случаев применяются огра­ничения на запасы прочности в наиболее нагруженных деталях, на габаритные размеры, на степени реактивности турбины на среднем диаметре или у корня лопаток и т.п. Если нужны ограничения не снизу, а сверху, т.е. знак неравен­ства нужен обратный, то умножают обе части неравенства на минус единицу и сохраняют единообразную за­пись. Систему ограничений следует выбирать таким образом, чтобы в области поиска остались только приемлемые решения, а чис­ло локальных экстремумов было минимальным. Для ускорения поис­ка желательно, чтобы размеры области были поменьше, но важно, чтобы в нее вошли все возможные оптимумы. Система ограничений существенно зависит от уровня сложности используемых математи­ческих моделей, так как ограничивать можно только то, что в данной модели рассчитывается.

Иногда приходится накладывать ограничения типа равенств на некоторые размеры деталей, чтобы обеспечить возможность исполь­зования готовых или типовых деталей или по другим технически обоснованным причинам. В этом случае желательно путем математи­ческих преобразований исключить одну из переменных и понизить размерность пространства поиска, но это удается не часто или приво­дит к слишком большому объему дополнительных работ, а поэтому применяется редко. Чаще данное ограничение превращают в обычное неравенство, но его формулируют так, чтобы при уходе с границы значения критериев ухудшались. В этом случае всегда обеспечивает­ся требуемое равенство.

Выбор функции цели

Выбор оптимальных параметров проектируемого двигателя предопределяется условиями обеспечения показателей качества авиационного ГТД.

Серьезнейшей проблемой является необходимость объективной оценки качества создаваемого изделия. Лучше всего свести ее к вели­чине одного или нескольких параметров, называемых функциями це­ли, минимальное или максимальное значение которых будет соответ­ствовать оптимальному варианту двигателя. Оценка нужна на самых ранних этапах проектирования, и она должна быть достаточно точной. По мере перехода к более сложным моделям, имеющим большие возможности, появляется возможность использования и более совер­шенных методов оценки, более сложных функций цели. Авиационный газотурбин­ный двигатель всегда используется в составе какого-либо летательно­го аппарата. Он не может эксплуатироваться изолированно по своему прямому назначению, поэтому сформулировать для него объектив­ную функцию цели изолированно в принципе невозможно. Для ее выбора необходимо рассматривать ГТД только совместно с летатель­ным аппаратом, а для этого нужна хотя бы простейшая математиче­ская модель летательного аппарата. Существующая практика проектирования двигателя под выданное техническое задание снижает параметры ле­тательного аппарата, так как разработчики самолетов в принципе не могут сформулировать его оптимальным образом пока не получат данных о том, как будет влиять само техническое задание на дости­жимые параметры двигателя. Необходимо либо рассматривать их со­вместно, либо использовать передаточные модели.

Процесс оптимизации значительно упрощается, если удается сформулировать единую функцию цели, но она, конечно, может заменяться на отдельных приближениях. Если же приходится все-таки использовать несколько функций цели, то они рассматриваются как компоненты вектора. В любом случае выбор функции цели - это творческий и очень ответственный процесс. Рекомендуется менять в процессе проектирования функции цели в зависимости от достигае­мых результатов.

Простейшей функцией цели, которая может использоваться на начальных этапах проектирования, является масса силовой установки для заданной продолжительности полета. Модель летательного аппа­рата в ней сводится к одной формуле для расчета массы израсходо­ванного топлива, входящего в массу силовой установки. Все осталь­ные слагаемые массы считаются постоянными. Кроме массы израсходованного топлива еще учитываются масса двигателя и прочих элементов силовой установки, поэтому она доста­точно объективно оценивает качество ГТД, но в этой функции цели учитывается его работа только на крейсерских режимах, а важно оцени­вать его совершенство на всех режимах. Этот недостаток устраняется, если используется масса силовой установки для заданной программы полета.

Передаточные модели

В сложных случаях не удастся рассчитать её необходимые зна­чения функции цели и ограничений второго рода в одной математи­ческой модели, а приходится использовать несколько, что усложняет оптимизацию. Конечно, проще всего объединить все нужные модели в одну, но это не всегда возможно из-за чрезмерной громоздкости или нежелания авторов модели передавать ее соисполнителям. В этом случае можно использовать передаточные модели, которые позволя­ют передавать в другие модели нужные выражения для функции цели и ограничений. Например, становится реальной такая задача: оптими­зировать проточную часть одной из турбин таким образом, чтобы обеспечить минимум массы силовой установки, в которую входит за­пас топлива на заданную программу полета при соблюдении всех за­данных ограничений. В этом случае оптимизация будет проводиться на обычной модели турбины, а значение массы силовой установки будет определяться с помощью передаточной модели. Возможны и более сложные задачи. Например, можно оптимизировать систему охлаждения турбины из условия минимума приведенных затрат на эксплуатацию самолета при заданном ограничении на его взлетный вес и соблюдении всех прочих ограничений. Задачи такого рода чаще возникают, если необходимо внести какие-либо изменения в конст­рукцию двигателя, создание которого уже заканчивается.

Методы оптимизации

Для решения задачи оптимизации предложено большое количе­ство алгоритмов, базирующихся на различных принципах, но лишь немногие из них нашли широкое применение. Среди них нет еще ни одного алгоритма, полностью удовлетворяющего всем предъявляе­мым требованиям. По-прежнему остается актуальной задача разра­ботки новых более эффективных алгоритмов с широкой областью применения.

Преимущества или недостатки того или иного алгоритма, определяющие его применимость, нельзя оценить однозначно. Сравнение приходится вести по ряду показателей, но опыт работ показал, что достаточно сложные задачи удастся решать только таким методом, при котором последовательно вычисляются значения функции цели и проверяются ограничения в различных точках области поиска. Различные алгоритмы этого типа, собственно говоря, и различаются способами выбора последователь­ности этих точек.

При оптимизации ГТД не встречаются задачи без ограничений. Они бывают, как правило, нелинейными. Функция цели часто многоэкстремальная, поэтому преимущественно применяются методы гло­бального поиска, но возможно и применение локальных методов при достаточно большой области притяжения глобального экстремума. В этом случае приходится для повышения надежности повторять поиск из нескольких начальных точек.

Большинство методов поиска, применяемых при оптимизации сложных изделий, относится к трем четко разграниченным группам. Первые две из них включают детерминированные методы.

1. Градиентные методы в широком смысле этого слова. В клас­сификациях они часто называются "методами, использующими про­изводные".

2. Безградиентные методы, т.е. методы, в которых выбор очеред­ной точки в области поиска (очередной шаг) строго предопределен сложившейся ситуацией (как и в градиентных методах), но производ­ные не вычисляются и не используются.

3. Статистические методы или методы случайного поиска. Это все рандомизированные методы, т.е. методы, в которых каждый оче­редной шаг или большинство шагов формируется с использование случайных или псевдослучайных чисел.

Методы первой группы наиболее чувствительны к виду функции цели и области поиска. При их использовании большое число шагов тратится на вычисление производных. Методы этой группы, поэтому малоприменимы для сложных задач оптимизации, но они очень эф­фективны в тестовых задачах, в особенности, если удается вывести и использовать формулы для вычисления производных. В реальных за­дачах получение таких формул, как правило, невозможно или очень затруднено.

Из методов второй группы простейшим является метод сканиро­вания, т.е. последовательного перебора точек в области поиска с за­ранее заданным шагом и порядком перебора. Он является очень на­дежным и, несмотря на чрезвычайно низкую экономичность, иногда применяется при быстро вычисляемых математических моделях и не­большой области поиска. Более экономичным является симплексный метод, в особенности его модификации, использующие регулярные, а чаще нерегулярные симплексы, Эти методы довольно надежны. Но они имеют существенный недостаток. При большом числе перемен­ных значительная часть оперативной памяти расходуется на хранение громоздкой матрицы, описывающей симплекс, Кроме того, в области оптимума много шагов тратится на принятие решения о прекращении поиска. Эти методы наиболее целесообразны при умеренном числе переменных и невысоких требованиях к точности решения. Из более сложных методов стоит упомянуть метод вращающихся координат (метод Розенброка), метод Пауэлла, метод Буцци Феррариса, ЛП- поиск и др. Эти алгоритмы можно рекомендовать для оптимизации при не очень сложном характере функции цели и области поиска, так как в противном случае они иногда попадают в "ловушки" и поиск заканчивается преждевременно.

Третья группа методов является наиболее многочисленной и раз­нообразной. В ней имеются алгоритмы более простые, чем в-первых двух группах, и значительно более сложные, Они резко отличаются по эффективности, и это вызывает многочисленные споры по их при­менимости. Но, тем не менее, наиболее сложные задачи оптимизации были решены именно методами слу­чайного поиска. Простейшим из алгоритмов является метод "слепого поиска", при котором поочередно вычисляются значения функции цели в случайных точках области поиска и выбираются наилучшие из них. Этот метод лучше сканирования, но эффективность его остается очень низкой. Несмотря на это, он иногда применяется. Наиболее со­вершенные из этих методов, можно рекомендовать для самых сложных задач оптимизации.

Примеры «методов оптимизации, использующих производные»

Все методы описаны в случае, когда используются только два варьируемых параметра (Х₁ и Х₂).