Лекция №4. Формализация задачи проектирования.

Проектные процедуры.

Проектирование сводится к серии различных преобразований образа технического объекта, сформулированного техническим заданием и отображенного в сознании человека. Уровень воображения и талант проектировщика в существенной мере определяет совершенство будущего объекта.

Само проектирование складывается из типовых проектных процедур вида: термогазодинамических и прочных расчетов, расчетов характеристик и теплового состояния элементов и т.п., и творческих проектных процедур, т.е., принятие или выбор проектных решений.

Первые из них получили название, проектных процедур 1 рода, а вторые - творческие, процедуры 2 рода.

Проектные процедуры 1 рода могут быть формализованы путем построения алгоритмов на базе математических моделей описывающих явление. К таким процедурам относится, все расчеты на прочность, геометрию прочной части. Эти процедуры выполняются путем обращения к соответствующим математическим моделям.

Проектные процедуры 2 рода требуют творческого начала от проектировщиков, т.е., принятия решения по информации полученной в результате выполнения процедур 1 рода.

Деление проектных процедур на типовые и творческие в определенной мере условное. Это деление нужно лишь для упорядочения работы с ними.

На практике творческое начало есть и в процедурах 1 рода. В процедурах 2 рода также могут использоваться формализованные методы принятия решения математическим аппаратом нелинейного программирования.

Формализованное описание задач проектирования.

Простейшая схема математической модели функционирования технического объекта может быть представлена блок схемой.

X - вектор внутренних параметров;

Q - вектор входных параметров;

Y - вектор выходных параметров;

В процессе проектирования нужно подобрать такое значение вектора X при котором известному вектору Q соответствует заданное значение вектора Y. Всегда существует множество вариантов значений векторов X обеспечивающих получение значения Y.

Каждый из этих вариантов принято называть возможным вариантом, а соответствие проектное решение – возможным.

Если X имеет n компонентов, то можно представить некоторую n- мерную область существования возможных проектных решений Ω_x.

Эта область является ограниченной, т. к. всегда накладываются ограничения техническим заданием, прочностными, технологическими и другими требованиями.

Геометрическая интерпретация 2-х мерной Ω_x:

Проектное решение существует внутри незаштрихованной области.

F1(X1,X2)…F4(X1,X2) – ограничения.

Любая точка из области Ω_x является возможным проектным решением.

Задача заключается в выборе оптимального варианта из области Ω_x .

Степень приближения к наилучшему решению оценивается критерием качества или оптимальности, или функцией цели. Тогда формальная задача проектирования может быть сформулирована:

Для заданных Y и Q при и и , найти вектор X для которого значение функции цели будет равно экстремуму, т. е min или max.

Результат работы представляется в виде проекта.

Формализованную схему можно представить как последовательность проектных процедур, каждая из которых заканчивается проектным решением.

Понятие математической модели

Математическая модель создаваемого изделия является основой любой САПР. Все успешно функционирующие САПР базируются на достаточно совершенных математических моделях. Многие неудач­ные попытки создания САПР объясняются неудовлетворительным качеством модели. Максимум внимания к математической модели - это суровая необходимость, поэтому они заслуживают подробного рассмотрения.

Понятие модели является одним из основополагающих в науке. Можно дать следующее определение модели: моделью называется объект любой природы, который способен замещать ис­следуемый объект так, что его изучение дает новую информацию об этом объекте. Частным случаем модели является математическая модель. Ее можно представить как совокупность констант и со­отношений, т.е. формул, уравнений, неравенств и логических усло­вий, которая однозначно связывает входную и выходную информа­цию. Большое значение имеет область возможного использования модели. Если она достаточно велика, то модель можно считать уни­версальной. Универсальная модель должна быть составлена так, что - бы имелась значительная свобода в выборе параметров, входящих как в выходную, так, в особенности, и во входную (исходную) информа­цию. Удобнее использовать модели, у которых эта информация мак­симально приближена к той, которая измеряется при испытаниях из­делия, например ГТД.

Методы построения математических моделей

В настоящее время в основном используются два метода:

1) итерационный или метод последовательных приближений;

2) формирования систем основных уравнений.

Итерационный метод позволяет достаточно просто сгенерировать математическую модель двигателя любой сложности. Он заключается в следующем:

Основой для итерационных математических моделей является элементарные модули 1-го уровня.

Каждый элементарный модуль описывает один из процессов в двигателе

Каждый модуль записывается в формальных параметрах и имеет типовую структуру:

а) входные параметры рабочего тела;

б) признаки и условия работы модуля;

в) выходные параметры рабочего тела;

г) связи с модулями нижнего уровня и банком данных.

Такое построение модулей обеспечивает их автоматическую стыковку в программе.

Модули 1-го уровня могут состоять из модулей 2-го и более высоких уровней построенных по тем же схемам.

Генерация моделей двигателя любой схемы осуществляется путём компоновки модулей в заданной последовательности с наложением условий их совместного использования модулем итерационного типа.

Модуль итерационного цикла – это описание логики формирования той или иной программы регулирования выбранной схемы ГТД.

Метод построения моделей путём формирования системы основных уравнений базируется на уравнениях 3-х групп:

1). Баланс расходов в компрессоре.

2). Баланс расходов через СА в турбине.

3). Баланс мощностей.

И целых условий определяющих закон регулирования, баланс давлений и различного рода ограничений.

В общем случае получается нелинейная система алгебраических и дифференциальных уравнений.

Решение такой системы может быть выполнено методом Ньютона:

выбирается какая либо точка (решения) в качестве начального приближения, в окрестностях выбранной точки производится разложение всех функций в ряд Тейлора, причём разложение ограничивается линейными членами. Производится замена исходной нелинейной системы на линейную, т. е линеаризация системы.

Переменными в этой линейной системе является не сами параметры, а поправки к ним:

Для линейной системы разработано большое количество алгоритмов и программ, поэтому все поправки легко могут быть найдены.

Итерации, т. е уточнение параметра, будет заканчиваться тогда, когда и - относительные поправки становятся меньше некоторой малой наперёд заданной величины.

Построенные по такому принципу математические модели важны, когда основными становятся требования к адекватности модели, например, при проектировании двигателя.