Фрактальная графика, также как векторнаяи трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений, ничего кроме формулы хранить не требуется.
Фрактальные свойства объектов известны более 100 лет. Однако подробное изучение фракталов началось не более 30-35 лет назад. Родоначальниками теории фракталов являются математики.
Очень легко продолжить треугольник, заметив, что каждое число в нем является суммой двух других, стоящих над ним.
Заменим в треугольнике Паскаля числа остатком от деления на 2 (mod 2): нечетные числа – единицей, а четные – нулем, закрасим пиксели
При стремлении количества рядов фигуры N к бесконечности, отображаемая фигура будет стремиться к некоторому пределу, который называется Ковер Серпинского и был открыт польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 году.
Алгоритм треугольника чрезвычайно прост: каждая сторона равностороннего треугольника делится пополам, соединяются полученные вершины, и снова весь процесс повторяется. Если делить отрезки не пополам, а в некотором отношении (т.е. соединять не середины отрезков, а некоторые другие точки), тогда мы получим нечто следующее http://fractalworld.xaoc.ru/Sierpinski_triangle:
Если на каждом шаге стороны треугольников разбивать случайным образом, то получится примерно следующее:
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого графического представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. В основе таких построений лежат геометрические фракталы, построенные по определенным алгоритмам.
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Георг Кантор (1845-1918) с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая «Пыль Кантора»). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.
Рис.1
Нетрудно заметить, что суммарная длина получившихся в пределе отрезков равна нулю (размерность фигуры равна 0), так как мы исключили в результате длину, равную 1:
Существуют фракталы, которые плотно заполняют пространство, в котором они находятся. Одним из примеров такого рода являются кривые Пеано (Peano curves). Первая из них была найдена Пеано в 1890 г. Начальным (инициирующим) элементом здесь можно выбрать единичный квадрат, каждая из сторон которого на следующем шаге заменяется генератором, показанным на рисунке:
