Метод простой итерации

Схема дихотомии отрезка (деление пополам)

Эта схема прекрасно подходит, когда предварительно проведено исследование интервала существования корня и найден такой интервал [e, f], на концах которого полином принимает разные знаки, так что существует корень внутри интервала. Если исходный интервал мал и сравним с заданной точностью , то в качестве корня можно выбрать середину этого интервала. Если же исходный интервал больше, чем значение , то интервал можно разделить пополам и из двух половинок выбрать ту, для которой выполняется характерный признак существования корня. Понятно, что если признак выполняется для всего интервала, то он обязательно будет выполняться для одной из его половинок. Деление отрезка пополам приводит к быстрому уменьшению длины отрезка, так что 10-20 делений достаточно, чтобы найти интервал длины, меньшей , а следовательно, и корень полинома с заданной точностью.

Формально метод применим и в том случае, когда неизвестен интервал, в котором существует корень функции. Пусть - некоторое заданное начальное приближение к корню полинома. Тогда можно построить следующий итерационный процесс:

Метод записан для произвольной функции , в нашем случае функция задана полиномом. Итерационный процесс следует прекращать либо по достижении заданной точности, либо по достижении максимально допустимого числа итераций . Заметьте, следует задавать оба условия, поскольку сходимость процесса простой итерации к корню, даже если он существует, не гарантируется. Во многом все зависит от удачного выбора начального приближения.

Метод простой итерации обладает полезным свойством "неподвижной точки". Корни функции являются "неподвижными точками" метода. Нетрудно заметить, что если на некотором шаге сошлось к корню полинома , то и все последующие итерации будут равны , так что итерационный процесс из найденного корня не уходит.