Определение кубического сплайна.

Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f(x). Рассмотрим сетку узлов

a=x₀ < x₁ <x₂ < … < x_n = b (1)

и обозначим расстояние между смежными узлами:

h_i = x_i – x_i-1, i=1, 2, …, n (2)

Определение. Назовем кубическим сплайном функции y = f(x), х Î [a; b] на сетке (2) функцию S(x), удовлетворяющую условиям:

1. На каждом частичном отрезке [x_i-1; x_i] функция S(x) является полиномом третьей степени.

2. Функция S(x), ее первая S'(x) и вторая S''(x) производные непрерывны на сегменте [a; b].

3. В узлах интерполяции сплайн принимает значения интерполируемой функции:

S(x_i) = f(x_i) = f_i, i=0, 1, 2, …, n.

4. На концах сегмента [a; b] вторая производная функции S''(x) удовлетворяет условиям S''(а)= S''(b)=0.

Замечание. На концах сегмента [a; b], в принципе, могут быть заданы и другие условия, например, S''(а)=А, S''(b)=В.

Справедлива следующая теорема.

Теорема.Существует единственный сплайн S(x), удовлетворяющий условиям 1-4.

Проведем доказательство теоремы конструктивным способом, т.е. сведем задачу построения сплайна к определению коэффициентов частичных полиномов третьей степени на каждом из отрезков [x_i-1; x_i]. Для этого сопоставим отрезку [x_i-1; x_i] полином S_i (x).

Для удобства запишем полином S_i (x) в виде:

(3)

При этом очевидно, что

(4)

(5)

Подставив x_i в (3), (4), (5), получим:

, , (6)

Отсюда следует, что для выполнения условия 3 в узлах интерполяции

: , i= 1, 2, …, n (7)

Требуя непрерывности сплайна в узлах x_i , i= 1, 2, …, n-1 и выполнения условия 3 при i=0, получаем:

, i= 1, 2, …, n (8)

или

Это равенство можно переписать следующим образом:

(9)

Условие 2 относительно непрерывности первой производной S'(x) в узлах x_i, i = 1, … n-1, принимает вид:

(10)

и приводит к соотношениям

или

(11)

Аналогичным образом условия непрерывности второй производной S'' (x) в тех же узлах

(12)

означают, что

(13)

Наконец, дополнительные граничные условия 4 дают еще два уравнения:

(14)

В итоге мы получили замкнутую систему (9), (11), (13), (14), содержащую в сумме 3п линейных уравнений для отыскания 3п неизвестных: b_i, с_i , d_i, i=1,2,…, n.

Удобно формально ввести еще одно неизвестное с₀, положив при этом что оно равно нулю: с₀ = 0, и первое уравнение в (14) переписать в виде

,

т.е. в форме, аналогичной (13).

Теперь уравнения (13), (14) естественно представить в единообразном виде:

(15)

(16)

Обратим внимание на то, что из системы (15) можно выразить все коэффициенты d_i через разности , а затем из системы (9) выразить через c_i и c_i-1 все коэффициенты b_i. Подставляя полученные выражения в (11), приходим к системе линейных уравнений для c_i:

(17)

Сдвигая индекс i на единицу, получаем симметрическую форму записи уравнений (17):

(18)

Кроме того, согласно (16)

с₀ = с_п = 0 (19)

Система (18) содержит (п-1) уравнение с (п-1)-м неизвестным:

с₁, с₂, …, с_п-1.

Величины с₀ и с_п определены дополнительными соотношениями (19). Если сетка (1) равномерная, т.е. h_i=h=const, то уравнения (18) принимают особенно простой вид:

(20)

Для уравнений системы (18) выполнено условие диагонального преобладания. Отсюда следует существование и единственность решения задачи (18), (19). Зная величины c_i, можно рассчитать остальные коэффициенты сплайна по формулам

(21)

(22)

завершив тем самым построение сплайна. Теорема доказана.