Лекция № 22. Исследование функций с помощью производной на монотонность, экстремумы, выпуклость. Точки перегиба.

Теорема 1 Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Если , то функция - постоянная на .

Теорема 2. Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то функция монотонно возрастает на .

Теорема 3. Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то функция монотонно убывает на .

Теорема 4. Пусть функция определена и непрерывна на и - внутренняя точка . Если - точка экстремума функции , то либо , либо , либо не существует.

Определение 1. Точка называется критической (или стационарной) для функции , если в ней выполняется одно из условий: , , не существует.

Определение 2. Если , то будем говорить, что функция меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку . Если , то скажем что функция меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку . Если же или , то говорят, что функция не меняет знак при переходе через точку .

Теорема 5. Пусть функция определена и непрерывна на ; - внутренняя точка из и в проколотой окрестности точки функция является дифференцируемой. Тогда если а) функция меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку , то -точка минимума функции ; б) функция меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку , то -точка максимума функции ; в) функция ' не меняет знак при переходе через точку , то в точке экстремума функции нет.

Теорема 6. Пусть - внутренняя точка отрезка , на котором определена функция и выполняются следующие условия: и существует . Тогда если , то - точка минимума функции ; если же , то - точка максимума функции .

Определение 3. Функция , непрерывная на и дифференцируемая на , называется выпуклой вниз, если все точки ее графика лежат не ниже касательной, проведенной в любой точке к кривой .

Аналитическое выражение выпуклости вниз: таких, что , выполняется условие .

Определение 4. Функция , непрерывная на и дифференцируемая на , называется выпуклой вверх, если таких, что , выполняется условие .

Теорема 7. Пусть функция непрерывна на и дважды дифференцируема внутри . Если , то функция является выпуклой вниз; если , то функция является выпуклой вверх.

Определение 5. Точку будем называть точкой перегиба графика функции , если в некоторой -окрестности этой точки меняется характер выпуклости кривой, т.е. функция выпукла вниз, а - выпукла вверх или наоборот.

Теорема 8. Если функция дважды дифференцируема на промежутке и - ее точка перегиба, то =0.

Теорема 9. (достаточное условие точки перегиба) Пусть функция дважды дифференцируема на и - внутренняя точка . Если и при переходе через точку функция меняет знак, то точка является точкой перегиба графика функции .