Лекция № 21. Понятие экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке , и пусть - внутренняя точка этого промежутка.

Определение 1. Точку назовем точкой максимума (минимума)

функции , если существует такое число >0, что

при всех из выполняется неравенство

(*)

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимальным (минимальным). Обратим внимание на то, что условие (*) не обязано выполняться на всем промежутке , т.е. носит локальный характер.

Не следует путать максимальные и минимальные значения функции с наибольшими и наименьшими значениями функции. Так на рисунке точки и являются точками максимума функции .

Значит и - максимальные значения, однако, наибольшим является лишь . Точка является точкой минимума функции , но наименьшее значение достигается функцией в точке .

Точки максимума и минимума функции называют общим термином – точки экстремума.

Теорема 1 (Ферма). Если - точка экстремума функции и функция

дифференцируема в этой точке, то .

Доказательство. Пусть для определенности - точка максимума функции . Следовательно,

. (1)

Дадим приращение такое, чтобы не выйти из интервала , т.е . Тогда функция получит приращение . В силу неравенства (1) утверждаем, что . Рассмотрим теперь отношение . Это отношение неотрицательно при <0 и не положительно при >0. Поэтому получаем и или

и . (2)

По условию функция дифференцируема в точке . Следовательно, существует и конечна . Значит, в силу условия (2), должны иметь =0.

Теорема Ферма допускает простое геометрическое истолкование: если - точка экстремума дифференцируемой функции , то касательная к кривой в точке параллельна оси ОХ.

Теорема 2 (Ролля). Пусть функция непрерывна на , дифференцируема на

и . Тогда внутри найдется точка такая,

что .

Доказательство. Так как функция непрерывна на , то по второй теореме Вейерштрасса она среди своих значений имеет наибольшее и наименьшее . Очевидно, что . Если , то функция постоянна на , а значит при любом из .

Если , то в силу условия заключаем, что хотя бы одно из значений и принимается функцией в некоторой внутренней точке отрезка . Но тогда будет точкой экстремума для , а, следовательно, по теореме Ферма .

Теорема Ролля допускает простое геометрическое истолкование: в условиях этой теоремы на кривой найдется точка, в которой касательная к этой кривой параллельна оси ОХ.

Теорема 3 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на и

дифференцируема на . Тогда внутри найдется точка

такая, что .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию такую, что . Легко видеть, что функция непрерывна , как разность непрерывных функций, и дифференцируема на , как разность дифференцируемых функций. Вычислим значения функции на концах отрезка .

. .

Итак . Следовательно, функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на . Поэтому найдется точка внутри такая, что , или , откуда .

Теорема Лагранжа имеет простую геометрическую интерпретацию.

Отношение есть угловой коэффициент хорды АВ, соединяющей концы кривой .

есть угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке . Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что на кривой с концами в точках А и В найдется точка, в которой касательная будет параллельной хорде АВ.

Замечание 1.Теорему Ролля можно рассматривать как частный случай

теоремы Лагранжа: при дополнительном условии

формула Лагранжа принимает вид .

Замечание 2. Формулу Лагранжа можно записать по-

другому: . В таком виде формула

Лагранжа дает значение приращения функции на ,

выраженное через приращение аргумента и некоторую

внутреннюю точку отрезка . Поэтому формулу

Лагранжа еще называют формулой конечных приращений.

Теорема 4. (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке ,

дифференцируемы на и при любом из . Тогда

внутри найдется точка такая, что

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию такую, что . Заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля внутри нашлась бы точка такая, что ,а это противоречит условию при любом из теоремы Коши. Как и при доказательстве теоремы Ролля легко убедиться, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. (Сделать это самостоятельно). Значит внутри найдется точка такая, что или , откуда и следует формула Коши.

Замечание 3. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы

Коши, когда .

Французский математик Гильом Лопиталь (1661-1704) нашел способ раскрытия неопределенностей типа и при вычислении пределов с помощью производной.

Теорема 5. Пусть функции и , определенные на ,

удовлетворяют следующим условиям :

1) ;

2) функции и непрерывны на ;

3) функции и дифференцируемы на и при любом из ;

4) существует .

Тогда .

Доказательство. Доопределим по непрерывности функции и в точке , положив . Тогда функции и будут непрерывны на отрезке . Выберем внутри произвольно точку и применим к отрезку теорему Коши для функций и . Получим, что внутри найдется точка такая, что . Учитывая, что , эта формула примет вид

Перейдем в этом равенстве к пределу при . При этом учтем, что если , то и .

Доказанная теорема позволяет заменить предел отношения функций пределом отношения их производных, если последний существует. Часто оказывается, что нахождение предела отношения производных проще и может быть осуществлено элементарными способами.

Например, .