Множество Мандельброта.

Алгебраические фракталы

Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

1. С течением времени стремится к бесконечности.

2. Стремится к 0

3. Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.

4. Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.

Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i - называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1.

Рассмотрим функцию , . Множество Мандельброта определяется как множество всех , для которых орбита точки при отображении ограничена.

Множество всех точек , для которых итерации остаются ограниченными при , называется множеством Мандельброта

Приняв, что и , раскладывая на действительную и мнимую часть, получаем:

Цвет обычно выбирают по числу итераций, но есть и другие способы.

program M2; uses Graph, Crt; type TComplex = record x : Real; y : Real; end; const iter = 50; max = 16; var z, t, c : TComplex; x, y, n : Integer; Cancel : Boolean; gd, gm : Integer; mx, my : Integer; begin Cancel := False; Randomize; gd := Detect; InitGraph(gd,gm,'e:\bp\bgi'); Mx := GetMaxX div 2; My := GetMaxY div 2; for y := -my to my do for x := -mx to mx do begin n := 0; c.x := x * 0.005; c.y := y * 0.005; z.x := 0; z.y := 0; while (sqr(z.x) + sqr(z.y) < max) and (n < iter) do begin t := z; z.x := sqr(t.x) - sqr(t.y) + c.x; z.y := 2 * t.x * t.y+ c.y; Inc(n); if KeyPressed then Cancel := true; end; if n < iter then begin PutPixel(mx + x,my + y,16 - (n mod 16)); end; if Cancel then exit; end; Readkey; CloseGraph;end.

Также можно изменить вид фрактала, если контроль значения вести другим образом. Наиболее употребляемый способ уже рассмотрен — достигает определённого максимального числа. Другими способами являются:

действительная часть меньше определённого числа;
мнимая часть меньше определённого числа;
и мнимая, и действительная части меньше какого-либо числа.

Есть и другие способы.

Изменяя значение n в общей формуле, можно получать различные варианты изображения.