2. Определение фракталов. Классификация фракталов. 3
3. Системы итерируемых функций. 7
4. Геометрические фракталы. 9
4.1. Снежинка Коха. 9
4.2. Треугольник Серпинского. 14
4.3. Драконова ломаная. 17
5. Алгебраические фракталы.. 20
5.1. Множество Мандельброта. 20
5.2.Множество Жюлиа. 22
5.3. Фрактал Ньютона. 25
6. L-системы.. 28
7. Фракталы в природе (frakt-lecture.pdf) 30
Сегодня вряд ли можно найти человека, занимающегося или интересующегося наукой, который не слышал бы о фракталах. При упоминании о них представляешь себе великолепные, граничащие с произведениями искусства, изображения фрактальных множеств, напоминающие то дерево или кустарник, то сетку трещин на асфальте или морозные узоры на окне, то острова в океане или облака на небе, то вообще что-то такое, чему трудно подобрать сравнение. Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы. Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас.
Любопытную мысль приводит в своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные – задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать".
Действительно, традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами (линиями, плоскостями, многоугольниками, полиэдрами, сферами и т.д.) и их композициями, метрические и топологические размерности которых равны между собой. Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Очень трудно представить себе структуру систем жизнеобеспечения биологической особи (кровообращение, ЦНС), тонкую структуру белков и т.д.
Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных явлений. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов, турбулентных процессов, определяющих погоду или границу раздела газовых сред? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения? Т.е. речь идет о задачах, для решения которых необходимо учитывать особенности топологии тонкой структуры объектов. Это именно такие задачи, о которых говорит Мандельброт.
Подходящими средствами для исследования поставленных вопросов представляются фракталы и математический хаос.
Термин фрактал относится к некоторой статической геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос – термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды.
Наука о фракталах оформилась в отдельную область математики совсем недавно: в начале 70-х годов 20 века. История возникновения интереса к изучению фракталов может служить примером взаимопроникновения идей абстрактных и естественных наук. Началом этого процесса принято считать появление в 1977 году уже упоминавшейся книги Б. Мандельброта "Фрактальная геометрия природы" (Mandelbrot B.B. "The fractal geometry of nature"), где содержится огромное количество изображений различных фрактальных множеств и приведены доказательства существования фрактальных объектов в природе. Справедливости ради, следует отметить, что первые фракталы появились в математике намного раньше, в конце 19 – начале 20 века. К их числу относятся такие удивительные конструкции, как
· канторовское множество (Г. Кантор, 1883),
· заметающая целый квадрат, кривая Гильберта-Пеано (Д. Гильберт – Дж. Пеано, 1890),
· множества Серпинского (В. Серпинский, 1916),
· множества Жюлиа (Г. Жюлиа, 1918)
· и другие типичные фракталы (термин "фрактал" в то время еще не был введен).
Эти конструкции были в свое время открыты математиками для того, чтобы показать, насколько наивными и хрупкими могут быть наши представления о столь знакомых, казалось, объектах, как функция и кривая. Эти сложные конструкции производили очень сильное впечатление, за что были прозваны математическими монстрами.
После выхода упомянутой книги началась настоящая "фрактальная лихорадка". Многим удалось по-новому взглянуть на объекты своих исследований, и оказалось, что они долгие годы изучают фракталы. Одна за другой стали появляться научные работы, где сообщалось о нахождении фрактальных объектов. Исследовались поверхности разломов твердых образцов, процессы агрегации кластеров и адсорбции, форма облаков и облачных зон над поверхностью Земли, шероховатость минералов, динамика экономических процессов, рост биологических популяций, волны в океане. В геологии и картографии, в физике и биологии – везде были обнаружены фракталы.
Сегодня исследование математических аспектов фрактальной теории, а также методов описания природных процессов и явлений с использованием идей теории фракталов – новая самостоятельная область науки. Уже сейчас она столь широка, что намечается разделение ее на несколько более узких областей. Теория фракталов стала междисциплинарной. Интерес к исследованию процессов, обуславливающих фрактальную геометрию природы, привел к рождению новых научных направлений в физике (фрактальная физика), биологии, материаловедении и т.д. Такое объединение различных научных направлений на основе единого структурного подхода не случайно, а является следствием универсальных свойств фрактальных структур.
