Тема 1.. Системы счисления. Основы логики.

План

1. Системы счисления

2. Двоичная арифметика

3. Основы логики

Системы счисления

Система счисления представляет собой способ записи чисел.

Любая система счисления характеризуется базисом и основанием. Основание системы счисления – количество символов, используемых для записи чисел в данной системе. Базис системы – это совокупность символов, используемых для записи чисел.

Пример:

1. Десятичная система счисления.

Основание 10

Базис: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

2. Двоичная система счисления.

Основание 2

Базис: {0,1}

3. Восьмеричная система счисления.

Основание 8

Базис: {0,1,2,3,4,5,6,7}

4. Шестнадцатеричная система счисления.

Основание 16

Базис: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

Все системы счисления делятся на два класса: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значимость (вес) каждой цифры числа зависит от позиции, которую она занимает. Из непозиционных систем самой распространенной является римская.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную осуществляется отдельно для целой и дробной частей числа по следующему алгоритму:

ü целое десятичное число делится нацело на основание 2, затем на 2 делятся последовательно все частные от целочисленного деления, до тех пор пока частное не станет меньше основания. В результат заносится последнее частное и все остатки от деления, начиная с последнего.

Например, 227₁₀=11100011₂

Двоичная арифметика Основы логики

Арифметические выражения в двоичной системе счисления выполняются так же, как и в десятичной системе, только роль десятки играет двойка.

Сложение	Вычитание	Умножение
0+0=0	0-0=0	0*0=0
0+1=1	1-0=1	0*1=0
1+0=1	1-1=0	1*0=0
1+1=10 (1 переносится в старший разряд)	0-1=1 (10 занимается в старшем разряде)	1*1=1

Выполнить действия:

100₂+1101₂

1100₂-110₂

1010₂.110₂

11001₂:101₂

1010₂+111₂

1010₂-111₂

1010₂.111₂

100100₂:11₂

111₂+111₂

1000₂-101₂

111₂.111₂

100001₂:11₂

Основы логики

Высказывание - это утверждение, относительно которого можно заключить, верно оно или нет. Простые высказывания можно объединять в сложные с помощью логических операций. В порядке убывания приоритета они записываются следующим образом:

Название	Обозначение	Функция
Отрицание	Ø	НЕ (NOT)
Умножение (Конъюнкция)	Ù(&)	И (AND)
Сложение (Дизъюнкция)	Ú	ИЛИ (OR)

У логических функций аргументы могут принимать только два значения: истина и ложь. Поэтому логические функции можно задавать таблицей, где перечислены все возможные значения аргументов и соответствующие им значения функций. Такие таблицы называют таблицами истинности.

Таблица для функции НЕ имеет следующий вид:

Х	НЕ(Х)
ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ЛОЖЬ

Таблица для функций И или ИЛИ имеет вид:

X	Y	X И Y	X ИЛИ Y
ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ
ЛОЖЬ	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА

Функция НЕ может иметь только один аргумент, а функции И и ИЛИ могут иметь два аргумента.