Пересечение прямой с поверхностью

Поверхности вращения

Поверхности вращения имеют произвольную образующую, движущуюся по окружности.

Рис. 6.4

Каждая точка образующей l движется по окружности с центром на оси вращения i. Это окружность называется параллелью. Параллель, проходящая через наиболее удаленную от оси вращения точку образующей, называется экватором, а через ближайшую – горлом.

Линия m, получаемая при пересечении поверхности плоскостью, проходящей через ось вращения, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны. Каждый из них разделяется на два симметричных относительно оси вращения полумеридиана. Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной плоскости проекций называется главным меридианом. В данном примере он определяет фронтальный очерк поверхности, горизонтальный очерк определяется экватором и горлом.

6.4.1. Цилиндр вращения

Цилиндрическая поверхность вращения – поверхность, образованная движением прямой линии вокруг оси.

Возьмем фронтально-проецирующий цилиндр и линию АВ, расположенную на его боковой поверхности. Горизонтальная проекция этой линии спроецируется на горизонтальный очерк цилиндра, т.к. все ее точки лежат на его боковой поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если каждая ее точка принадлежит этой поверхности.

6.4.2. Конус вращения

Коническая поверхность вращения образуется движением прямой линии, пересекающей ось вращения.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности.

Построение точек, принадлежащих поверхности вращения, ведется с помощью образующих или параллелей поверхности.

Пусть задана фронтальная проекция точки А, принадлежащей поверхности конуса. Этой проекции соответствуют две горизонтальные проекции точки А₁ и А¢₁. Их можно определить с помощью образующих поверхности 1-S и 1¢-S или параллели p.

Возможны три варианта расположения прямой относительно поверхности. Прямая может:

- пересекать поверхность;

- касаться поверхности;

- не пересекать поверхность.

Частные случаи:

1. Пересекаются прямая общего положения l с проецируюей поверхностью F.

Если задана проецирующая поверхность, то одна из проекций искомых точек пересечения определяется сразу, исходя из принадлежности их этой проецирующей поверхности.

В данном примере призма является горизонтально-проецирующей поверхностью, следовательно, горизонтальные проекции точек пересечения лежат на пересечении горизонтальной проекции прямой l и очерка призмы.

Рис. 6.10

Вторая проекция точек определяется исходя из принадлежности их непроецирующей прямой l.

2. Пересекаются проецирующая прямая i с поверхностью конуса F.

В этом случае одна из проекций искомой точки также изначально определена на чертеже. Она совпадает с вырожденной проекцией прямой.

Вторая проекция точки определяется из условия принадлежности ее образующей поверхности.

Рис. 6.11

Общий случай:

Пересекаются непроецирующая поверхность и прямая общего положения.

В этом случае, чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью необходимо:

1. Заключить прямую в дополнительную (вспомогательную) плоскость.

2. Построить линию пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью.

3. Определить точки полученного сечения с заданной прямой.

Эти точки являются искомыми.

В качестве вспомогательной плоскости выбирают плоскость общего или частного положения, дающую наиболее простую линию сечения (ломаную или окружность).

Пример: Построить точки пересечения прямой l с трехгранной пирамидой SABC. Определить видимость прямой относительно поверхности.

Рис. 6.12

Видимость прямой определяется по принадлежности точек пересечения граням пирамиды. Видима та часть прямой, которая исходит из точки, лежащей на видимой грани многогранника.