Нормальное распределение

Если изобразить величины P₀, P₁, P₂, P₃, …, P₁₀, которые мы подсчитали в примере 3, на графике, то окажется, что их распределение имеет вид, близкий к нормальному закону распределения (см. рис. 27.1) (см. лекцию 25. Моделирование нормально распределенных случайных величин).

Рис. 27.1. Вид биномиального распределения вероятностей для различных m при p = 0.8, n = 10

Биномиальный закон переходит в нормальный, если вероятности появления и непоявления события A примерно одинаковы, то есть, условно можно записать: p ≈ (1 – p). Для примера возьмем n = 10 и p = 0.5 (то есть p = 1 – p = 0.5).

Содержательно к такой задаче мы придем, если, например, захотим теоретически посчитать, сколько будет мальчиков и сколько девочек из 10 родившихся в роддоме в один день детей. Точнее, считать будем не мальчиков и девочек, а вероятность, что родятся только мальчики, что родится 1 мальчик и 9 девочек, что родится 2 мальчика и 8 девочек и так далее. Примем для простоты, что вероятность рождения мальчика и девочки одинакова и равна 0.5 (но на самом деле, если честно, это не так, см. курс «Моделирование систем искусственного интеллекта»).

Ясно, что распределение будет симметричное, так как вероятность рождения 3 мальчиков и 7 девочек равна вероятности рождения 7 мальчиков и 3 девочек. Наибольшая вероятность рождения будет у 5 мальчиков и 5 девочек. Эта вероятность равна 0.25, кстати, не такая уж она и большая по абсолютной величине. Далее, вероятность того, что родится сразу 10 или 9 мальчиков намного меньше, чем вероятность того, что родится 5 ± 1 мальчик из 10 детей. Как раз биномиальное распределение нам поможет сделать этот расчет. Итак.

C₁₀⁰ = 1, C₁₀¹ = 10, C₁₀² = 45, C₁₀³ = 120, C₁₀⁴ = 210, C₁₀⁵ = 252,
C₁₀⁶ = 210, C₁₀⁷ = 120, C₁₀⁸ = 45, C₁₀⁹ = 10, C₁₀¹⁰ = 1;

P₀ = 1 · 0.5⁰ · (1 – 0.5)^{10 – 0} = 1 · 1 · 0.5¹⁰ = 0.000977…;
P₁ = 10 · 0.5¹ · (1 – 0.5)^{10 – 1} = 10 · 0.5¹⁰ = 0.009766…;
P₂ = 45 · 0.5² · (1 – 0.5)^{10 – 2} = 45 · 0.5¹⁰ = 0.043945…;
P₃ = 120 · 0.5³ · (1 – 0.5)^{10 – 3} = 120 · 0.5¹⁰ = 0.117188…;
P₄ = 210 · 0.5⁴ · (1 – 0.5)^{10 – 4} = 210 · 0.5¹⁰ = 0.205078…;
P₅ = 252 · 0.5⁵ · (1 – 0.5)^{10 – 5} = 252 · 0.5¹⁰ = 0.246094…;
P₆ = 210 · 0.5⁶ · (1 – 0.5)^{10 – 6} = 210 · 0.5¹⁰ = 0.205078…;
P₇ = 120 · 0.5⁷ · (1 – 0.5)^{10 – 7} = 120 · 0.5¹⁰ = 0.117188…;
P₈ = 45 · 0.5⁸ · (1 – 0.5)^{10 – 8} = 45 · 0.5¹⁰ = 0.043945…;
P₉ = 10 · 0.5⁹ · (1 – 0.5)^{10 – 9} = 10 · 0.5¹⁰ = 0.009766…;
P₁₀ = 1 · 0.5¹⁰ · (1 – 0.5)^{10 – 10} = 1 · 0.5¹⁰ = 0.000977…

Разумеется, P₀ + P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + P₆ + P₇ + P₈ + P₉ + P₁₀ = 1.

Отразим на графике величины P₀, P₁, P₂, P₃, …, P₁₀ (см. рис. 27.2).

Рис. 27.2. График биномиального распределения при параметрах p = 0.5 и n = 10, приближающих его к нормальному закону

Итак, при условиях m ≈ n/2 и p ≈ 1 – p или p ≈ 0.5 вместо биномиального распределения можно использовать нормальное. При больших значениях n график сдвигается вправо и становится все более пологим, так как математическое ожидание и дисперсия возрастают с увеличением n: M = n · p, D = n · p · (1 – p).

Кстати, биномиальный закон стремится к нормальному и при увеличении n, что вполне естественно, согласно центральной предельной теореме (см. лекцию 34. Фиксация и обработка статистических результатов).

Теперь рассмотрим, как изменится биномиальный закон в случае, когда p ≠ q, то есть p –> 0. В этом случае применить гипотезу о нормальности распределения нельзя, и биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.