Вычисление определенных интегралов

Метод Ньютона

Метод половинного деления

Функция непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные знаки. Известно, что на отрезке [a,b] функция имеет только один нуль, т.е. корень уравнения один.

Отрезок [a,b] делится пополам x1=(a+b)/2, если , это корень уравнения. Если нет, то выбираем тот из отрезков [a,x1] или [x1,b], на концах которого функция имеет разный знак. Полученный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же рассуждения. Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного ε.

Функция , причем f΄(x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].

Например как функция:

f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4

на отрезке [1.2,2]

Выбирается некоторая точка x₀ на отрезке [a,b] и последовательно вычисляются:

Если x₀ выбрано таким образом, что f΄(x₀)*f˝(x₀) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена.

Если корень вычисляется с точностью до ε , то процесс вычислений следует прекратить, когда

,

где m1 - наименьшее значение |f΄(x)| и на [a,b],

M2 - наибольшее значение |f˝(x)| на [a,b].

При этом выполняется .

Если , то верно

Функция может быть задана таблично или аналитически.

Отрезок интегрирования разбивается на n равных частей длины

Точки разбиения: x₀=a x₁=x₀+h … x_i=x₀+ih… x_n=b.

Функция вычисляется в точках разбиения y_i=f(x_i).

Метод трапеций (для аналитически заданной функции)

Тогда согласно методу трапеций

Например, вычислить интеграл Площадь трапеции: