Метод итераций

X-2+sin(x)=0

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Место наблюдения среди других методов сбора данных

Основным недостатком этого метода является необъективность наблюдателя. Человек очень редко оценивает ситуацию абсолютно беспристрастно (ему свойственно делать выводы). Личностные особенности наблюдателя определенно сказываются на его впечатлениях.

Наблюдению не подлежат события прошлого, многие явления и процессы массового характера, вычленение небольшой части которых, делает их изучение непредставительным.

Наблюдение используется в основном как дополнительный метод, который позволяет собрать материалы для начала работы или помогает проверить результаты других методов сбора информации.

[1] Краткий словарь по социологии. М., Политиздат, 1988 г.

Часто приходится находить корни уравнений вида , где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале.

Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Решение уравнения вида разбивается на два этапа:

1. отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;

2. вычисление выделенного корня с заданной точностью.

Первый этап более сложный, в этом случае может помочь построение приближенного графика функции с анализом на монотонность, смену знака, выпуклость и т.д.

Для вычисления выделенного корня существует множество методов, например:

- метод итераций;

- метод половинного деления;

- метод Ньютона.

Уравнение можно представить в виде: .

Например: x-2+sin(1/x)=0 → x=2-sin(1/x)

Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x₀ и далее последовательно вычисляется:

Процесс вычисления значений x_k называется итерационным процессом.

Если на отрезке [a,b] выполнено условие |φ΄(x)| ≤ q <1, то итерационный процесс сходится к корню уравнения .

Если необходимо вычислить корень с точностью ε, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений x_n и x_n-1 не будет выполнено:

, при этом всегда выполняется , где ε задается погрешностью корня x*.

Если q ≤0.5 , то можно пользоваться соотношением .

В приведенном примере |φ΄(x)|= |(2-sin(1/x))΄|=cos(1/x)/x^2 < 0,47 на отрезке [1.2,2]