Выбор элементов моделирования.

Элементы теории подобия, применяемые в моделировании

Этапы построения математической модели

Выбор элементов моделирования.

Элементы моделирования

Процесс моделирования связан с рядом процедур, например, таких как выбор целевой функции (функции отклика), перемен­ных, параметров и т.д. Рассмотрим основные из них.

Выбор переменных. Различают переменные состояния, скорости (роста) факторови др. Они в свою очередь подразделяются на вспо­могательные и управляющие.

Переменные состоянияопределяют или помогают определить со­стояние системы в любой заданный момент времени (фазовые пере­менные). Типичным примером может служить объем выбросов и их содержание. Переменные должны поддаваться измерению и пред­ставлять интерес для исследователя. Так, если система задана с помо­щью п переменных состояния Х_х, X₂,..., Х_п, то они определяют един­ственным способом состояние системы в момент времени t. Пробле­ма детерминированного моделирования состоит в построении диф­ференциальных уравнений, с помощью которых можно было бы про­гнозировать значения всех переменных состояния системы в любой наперед заданный момент времени.

Переменные скорости (роста)— это характеристика, задающая процесс, который протекает в системе, в заданный момент времени. Эти процессы можно квалифицировать либо как преобразование, либо как перемещения.

Вспомогательные переменные способствуют более глубокому понима­нию объекта и в отдельных случаях упрощают сопоставление результатов наблюдения, например темп роста выбросов в атмосферу

Где П - объем выбросов; dt — приращение объема выбросов за время dt.

Управляющие переменные — это не зависящие от времени коли­чественные показатели и коэффициенты, включаемые в математи­ческие модели.

Под константой понимают численную величину, имеющую на­дежно и точно вычисленное значение, которое остается неизмен­ным при варьировании условий эксперимента, а также в тех случа­ях, когда модель используется для проверки различных гипотез или для описания компонент системы.

Термин «параметр» обычно относится к характеристикам, чис­ленные значения которых отличаются меньшей определенностью, чем у констант, но, тем не менее, остаются неизменными на протяжении исследования модели. Значения параметров подвержены влиянию условий эксперимента и они могут иметь приближенное значение.

Для обозначения параметров и констант введем символ Р, а величины, относящиеся к параметрам, будем записывать с индек­сом с, например, S_c — постоянные затраты (с — от const).

Для обозначения переменных введем символы X, Y, Z и т.д. Величины, относящиеся к переменным, будем записывать с индек­сом v, например, S_v — переменные затраты и т.д. (v — от var).

Подгонка моделей связана с такой корректировкой значений пара­метров Р иначальных условий переменных Х _i(i=1, п), которая прибли­жала бы модель к описываемой ею реальной системе при сохранении выбранной структуры и базовых уравнений. Например, пусть у реаль­ной системы измеряется конкретная характеристика Y_п раз в определен­ные моменты времени t₁ t₂ ..., t_n и соответственно фиксируются значе­ния у_1, у₂ ,..., у_п. При тех же условиях по модели фиксируем состояния Y₁,Y₂.,Y_n, где Y_i — прогнозируемые величины характеристик систе­мы. Если имеется разница между значениями у_i. и Y_i ,то ее величина называется невязкой и обозначается как

r_i=y_i-Y_i

Можно вычислить сумму квадратов невязок

R=∑ a_i r_i ²

где a_i — некоторый весовой коэффициент, который применяется в случае, когда невязки r_i,, имеют разную качественную значимость. При этом

a₁ + a₂ + … + a_n = 1

Сумма невязок используется в качестве меры близости модели к ее прототипу и может быть разбита на две составляющие

R=R _аД + R _е

где R _аД — отражает неадекватность модели прототипу; R_е — ошибки в экспериментальных данных.

Величина R рассматривается как зависимая от параметров сис­темы P₁ P₂ ,... Р_к, поэтому ожидаемое значение R_e определяется по формуле

R_e = (п-k) σ ²,

где п — число измерений; k — число параметров; σ ² — дисперсия ошибки.

Зависимость R от параметров P_i (i =1, k) может быть записана как

R = R(P_l,P₂,...,P_k),

Для определения минимума функции R(P) используют методы: наименьших квадратов, градиентный и др.

В качестве критерия чувствительности модели, где величина Y _i прогнозируется в заданный момент времени и известен параметр, от которого зависит эта величина, рекомендуется безразмерная вели­чина

где δ P_i — малое приращение параметра; δ Y_i — приращение Y_i вследствие изменения параметра Р_i

Параметры, для которых S(Y_iP_i)>1, сильно влияют на выходной показатель, и наоборот.