Системы счисления

ЧИСЛО имеет ЗНАЧЕНИЕ и ФОРМУ ПРЕСТАВЛЕНИЯ. Последняя определяет порядок записи числа с помощью предназначенных ля этого знаков. При этом ЗНАЧЕНИЕ является инвариантом, то есть не зависит от способа его представления.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые базовые символы (цифры), и все числа получаются в результате строго определенных операций над ними. Число таких базовых символов называется основанием системы счисления.

Существует два известных типа систем счисления: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа (значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе).

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: 111111111111, где каждая «палочка» обозначена символом 1. Эта система неэффективна, так как форма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится и римская, символы алфавита которой и обозначаемое ими количество представлены в табл. 1.

Таблица 1

Римские цифры I V X L С О м

Значение (обозначаемое количество)

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций.

В настоящее время наиболее распространены позиционные системы счисления. Все обрабатываемые данные в персональных компьютерах представлены в виде кодов и чисел в позиционной системе счисления.

Конкретное значение числа в позиционной системе определяется не только самими его цифрами, но и местоположением каждой из цифр, т.е. цифры имеют разный вес в записи числа. Примером такой системы счисления является привычная нам десятичная система счисления. Эта система использует десять базовых символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления. Например, число 1909 можно представить в виде многочлена по степеням основания:

1*10³ + 9*10² + 010¹ + 9*10⁰

Основание системы счисления может быть отличным от 10. Запись произвольного числа X в системе счисления по основанию R имеет вид:

X = a_n*Rⁿ + a_n-1 *R^n-1 + ... + a₁ *R¹ + a₀ *R⁰, а цифры a_i принадлежат 0, ... , R-1.

В компьютерных науках используется несколько позиционных систем счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.