Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Определение 12.8.Пусть и – две бесконечно малые в точке функции и пусть существует . Если , то – бесконечно малая более высокого порядка, чем .Если , то и – бесконечно малые одного порядка.Если , то и – эквивалентные бесконечно малые.

В качестве стандартной функции сравнения берут функцию .

Говорят, что бесконечно малая функция имеет порядок малости m, если .

Используется следующая символика: (равно o малое от ), если .

J Пример 12.4. 1) и – бесконечно малые одного порядка при , так как .

2) и – эквивалентные бесконечно малые при , так как .

3) и имеют одинаковый порядок роста при справа и слева, так как . J

Аналогично сравниваются бесконечно большие функции.

Определение 12.9.Пусть и – бесконечно большие в точке справа функции одного знака: , . Если , то имеет более высокий порядок роста в точке a справа, чем . Если , то и имеют в точке a справа одинаковый порядок роста. Если , то и – эквивалентные бесконечно большие функции.

Таковы же правила сравнения бесконечно больших функций и при .

J Пример 12.5. 1) , . Так как , то – бесконечно большая более низкого порядка, чем . А , поэтому – бесконечно большая более высокого порядка, чем .

2) , . – таким образом, и – бесконечно большие одного порядка (один порядок роста).

3) , . Здесь – бесконечно большая второго порядка по отношению к .

Таким образом, при вычислении предела отношения члены отношения можно заменять на эквивалентные. J

J Пример 12.6.1) .

2) .

3) .

Таким образом, если , – многочлены степеней m и k соответственно, то где а – отношение коэффициентов при старших степенях многочленов. J