Векторные критерии оптимальности

Многокритериальная задача оптимизации вместе со множеством возможных, (допустимых) решений включает набор целевых функций (называемых также частными критериями оптимальности) . Набор частных критериев оптимальности образует вектор-функцию (векторный критерий), которую далее будем обозначать через [41].

Наряду с множеством допустимых решений удобно рассматривать множество - область критериев

= .

Каждому решению соответствует один вполне определенный векторный критерий . С другой стороны, каждой оценке могут отвечать несколько решений . Таким образом, между множествами D_x и имеется тесная связь, и поэтому выбор решения из D_x в указанном смысле равносилен выбору соответствующей оценки из .

Таким образом, при существовании в задаче нескольких частных критериев рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации, как задачу нахождения такого вектора , который обеспечивает одновременно минимальное значение каждому частному критерию оптимальности

Любые два векторных критерия и =являются противоречивыми, если

,

и по крайней мере одно из этих соотношений является строгим. В случае доминирования над , и хотя бы для одного i это неравенство строгое, альтернатива может быть исключена из рассмотрения, так как вектор лучше вектора по всем частным критериям.

В этом случае при переходе от критерия к критерию ни один из частных критериев не ухудшится, а хотя бы один из них будет улучшен.

Множество критериев, для которых всегда справедлив принцип доминирования, образует множество , которое называется областью согласия. В области согласия нет противоречия между частными критериями оптимальности, и, если область критериев состоит только из области согласия, тогда существует единственная точка , в которой все частные критерии согласованы между собой в том смысле, что при движении к значения всех компонент уменьшаются. Точка называется оптимальным решением, и при этом значения всех частных критериев достигают в ней минимума.

Такая ситуация на практике встречается крайне редко, наиболее типичным является случай, когда частные критерии являются противоречивыми и минимум по каждому из них достигается в различных точках. В этом случае уменьшение одного частного критерия приводит к увеличению других частных критериев. Такие точки , в которых не выполняется принцип доминирования относительно любой точки , называются эффективными точками, то есть точка называется эффективной, если не существует ни одной точки такой, что и хотя бы для одного j это неравенство строгое .

Поскольку в эффективных точках векторный критерий оптимальности является не уменьшаемым по всем частным критериям одновременно, то эти точки также называются неулучшаемыми решениями или оптимальными по Парето.

Множество векторных критериев , соответствующих множеству всех эффективных точек, называется областью компромиссов , а само множество эффективных точек - областью решений, оптимальных по Парето.

Оптимальность по Парето означает, что нельзя дальше уменьшать значение одного из частных критериев , не увеличивая при этом хотя бы одного из остальных, таким образом в области компромиссов не выполняется принцип доминирования, а частные критерии являются противоречивыми. Это приводит к необходимости введения компромисса между частными критериями оптимальности для того, чтобы решить, какой из векторов или из области компромиссов считать предпочтительным.

Под оптимально-компромиссным решением будем понимать одну их эффективных точек , являющуюся предпочтительней с точки зрения ЛПР. Таким образом, задача векторной оптимизации не позволяет однозначно ответить на вопрос, получено ли оптимальное решение. Положительный ответ на этот вопрос зависит от качественной информации о важности частных критериев, которая имеется у ЛПР.

1.4.2. Преобразования векторного критерия и нормализация

частных критериев оптимальности

При помощи бинарного предпочтения будем определять тот факт, что векторный критерий предпочтительнее , если ни тому, ни другому нельзя отдать предпочтение, то они считаются эквивалентными (~) В случае будем говорить, что решение предпочтительнее решения

При решении задачи многокритериальной оптимизации часто возникает необходимость преобразования векторного критерия оптимальности в другой векторный критерий . Очевидно, чтобы не исказить смысл исходной задачи, новый критерий должен быть эквивалентен исходному критерию на всем множестве допустимых решений (~ ).

Преобразование , дающее эквивалентный исходному векторный критерий, называется допустимым преобразованием вектора , так как сохраняет истинность отношений предпочтения для преобразованного вектора, то есть если для некоторых решений имеет место , то это предпочтение сохраняется и для вектора : .

Важным применением допустимого преобразования является нормализация частных критериев оптимальности . Под нормализацией понимается приведение частных критериев к единому безразмерному виду.

Пусть частные критерии оптимальности имеют одинаковую шкалу измерения [a, b] и приведены к безразмерному типу при помощи положительного линейного преобразования:

,

где .