Ограниченные множества

Модуль числа

Множество действительных чисел

Главным объектом изучения в математическом анализе является функция, а основным числовым множеством – множество действительных чисел, которое будем обозначать буквой R.

Известны также основные подмножества множества R: множество натуральных чисел N, множество целых чисел Z, множество рациональных чисел Q (т.е. чисел вида , где Z, N и дробь несократима) и множество иррациональных чисел I. Между ними существуют следующие отношения: NZQR и R=QI.

Определение I.2. Модулем действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательно, и число , если .

Если воспользоваться геометрическим представлением действительных чисел в виде точек числовой прямой, то будет равен расстоянию от точки 0 до точки а.

Свойства модуля:

1. Неравенство равносильно неравенству . Здесь (эпсилон) есть положительное действительное число. .

Данным неравенством задается интервал .

2. . Этим неравенством задается множество .

3. (модуль суммы не превосходит суммы модулей).

4.

5. 6. .

Определение I.3.1. Множество R называют ограниченным сверху, если существует такое число b, что для любого элемента x множества X выполняется неравенство: .

В этом случае число b называется верхней границей множества X. Ясно, что всякое число, большее чем b, тоже есть верхняя граница для X, т.е. множество верхних границ бесконечно. Всегда существует наименьшая верхняя граница. Ее называют «сюпремум X» и обозначают .

– квантор общности, читается “для любого”

– квантор существования, читается “существует”.

Двоеточие будем читать “такой, что”,

буквы df над символом означают, что дается определение:

X ограничено сверху .

Имея такую запись определения, легко составить к нему отрицание:

X не ограничено сверху .

Мы видим, что при составлении отрицания кванторы заменяются на и наоборот, а неравенство заменяется противоположным.

Определение I.3.2. X ограничено снизу .

В этом случае число a называется нижней границей множества X. Нижними границами будут и любые числа, меньшие a. Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней гранью, обозначается и читается «инфимум X».

Определение I.3.3. X ограничено .

Определение I.3.3*. X ограничено .