Экстремум функции многих переменных

Возможность сохранения всего текста сессии команда save не дает.

3. Ведение дневника.

При необходимости можно записать сессию специальной командой для ведения дневника сессии:

diary file_name – ведет запись на диск всех команд в строках ввода и полученных результатов в виде текстового файла с указанным именем.

diary off – приостанавливает запись в файл;

diary on – вновь начинает запись в файл.

Чередуя команды diary off и diary on, можно сохранять нужные фрагменты сессии в их формальном виде. Команду diary можно задать и в виде функции,

diary(′file′) – где строка ′file′ задает имя файла.

4. Загрузка рабочей области сессии.

Для загрузки рабочей области ранее проведенной сессии можно использовать команду load:

load fname . . . – загрузка ранее сохраненных в файле fname.mat определений со спецификациями на месте многоточия

load (′fname ′, . . .) – загрузка файла fname.mat в формате функции.

5. Сохранение М-файлов.

Любая последовательность команд может быть оформлена в виде М-файла. Сначала запускается редактор создания М-файла (File=>New=>M-file), а затем он сохраняется стандартной командой Save As в окне редактора.

Вспомним сначала некоторые результаты, известные из курса математического анализа.

Теорема. Если x^* - точка локального экстремума функции одной переменной y = f(x) и функция f(x) дифференцируема в точке x^*, то

Точка x^*, удовлетворяющая условию называется стационарной точкой.

Теорема. Если функция f(x) дважды дифференцируема в стационарной точке x^*, и f′′(x^*) > 0 (f′′(x^*) < 0), то x^* - точка локального минимума (максимума) функции f(x).

Теорема. Если функция f(x) 2m раз дифференцируема в точке x^*, и

то x^* - точка локального минимума (максимума) функции f(x).

Определение. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции n переменных , если существует число δ > 0 такое, что для всех x таких, что , выполняется условие В случае строгих неравенств точка x^* называется точкой строгого локального минимума (максимума).

Знак обозначает евклидову норму (длину) вектора а.

Напомним, что понятия локального минимума и максимума объединяются одним термином локальный экстремум.

Теорема. Если - точка локального экстремума функции n переменных , и функция f(x) дифференцируема и точке х^*, то

Заметим, что вместо приведенной в теореме системы равенств можно употребить условие или условие df(x^*) = 0. Точка х^*, удовлетворяющая этим условия, называется стационарной точкой.

Теорема. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в стационарной точке х^*, тогда

1) если матрица вторых производных (матрица Гессе)

положительно определенная, то х^* - точка локального минимума функции f(x);

2) если матрица вторых производных отрицательно определенная, то х^* - точка локального максимума функции f(x);

3) если матрица вторых производных не определенная, то в точке х^* экстремума нет.

Замечание. Поскольку второй дифференциал функции f(x) имеет вид

где Δх (или dx) – произвольное приращение аргумента, то вместо условия положительной (отрицательной) определенности матрицы Гессе можно использовать условие положительности (отрицательности) второго дифференциала при любом ненулевом приращении аргумента.