Операция умножения чисел с фиксированной запятой в прямых кодах

пр

Чаще всего для исключения потери старших разрядов из-за переполнения разрядной сетки умножение выполняют в прямых кодах с числами, представленными с фиксированной запятой перед старшим разрядом (с отрицательными индексами). Для чисел [Х]_пр = x₃. x-1,...,x-n, [Y]_пр = y₃. y-1, ..., y-n ([Х]_пр, [Y]_пр<1) требуется получить произведение

пр

[Z]_пр = [Х]_{п р}

[Y]_пр = z₃. z-1 , z-2, ... z-n.

В дальнейшем, чтобы упростить написание формул, отрицательные индексы опускаются.

Операция выполняется в два этапа. Отдельно определяется знак произведения z₃ с учетом знаков сомножителей x₃ и y₃ в соответствии с выражением:

z₃ = x₃ y₃.

Затем определяется цифровая часть произведения мантисс сомножителей. С этой целью процесс умножения можно представить в следующем виде

Z = ХY = Х (y₁ 2^-1 + y₂ 2^-2 + ...+ y(n-1) 2^-ⁿ⁺¹+ y(n) 2^-ⁿ) =	(1)
= Х 2^-1y₁ + Х 2^-2 y₂ + ... + Х 2^-ⁿ⁺¹y(n-1) + X 2^-ⁿ y(n).

Это выражение после преобразования можно представить в виде:

Z = ((...(( 0 + Xy(n) ) 2^-1+ Xy(n-1) ) 2^-1+... + Xy₂) 2^-1+ Xy₁) 2^-1

(2)

Полученные выражения (1, 2) являются аналитическими записями двух основных способов умножения: со старших разрядов множителя (1) и младших разрядов множителя (2).

Согласно выражению (2) при умножении с младших разрядов должна выполняться следующая последовательность микроопераций:

- анализируется младшая цифра множителя. Если y_n = 1, то множимое Х участвует в формировании цифровой части произведения; если y_n = 0, то Х не участвует в формировании произведения;

- полученное первое частичное произведение, равное 0+Xy_n, сдвигается на один разряд вправо, то есть умножается на 2^-1. Указанная последовательность действий справедлива при умножении на все последующие разряды. Так, при умножении на разряд y(n-1):

- анализируется цифра множителя yn-1. Если yn-1 = 1, то множимое прибавляется к сдвинутому первому частичному произведению, т.е. A2 = (0 + Xy_n) 2^-1 + X1. Если y_n-1=0, то множимое не участвует в формировании произведения, т.е.

A2 = (0 + Xy_n)·2^-1 + X0.

Полученное второе частичное произведение сдвигается на один разряд вправо. Указанную процедуру умножения можно описать следующей рекуррентной формулой:

A(i) = A(i-1) · 2^-1 + y(n+1-i) · Х

(3)

Для выполнения умножения необходимо повторить n тактов (i=1,2,..,n) в соответствии с формулой (3) и в заключение осуществить последний n-й сдвиг A(n)2^-1 = XY = Z. Отметим, что при перемножении n-разрядных чисел получается 2n-разрядное произведение (n старших разрядов и n младших). При этом получение только n старших разрядов произведения или всех 2n разрядов обеспечивается суммированием в n-разрядном сумматоре. Время умножения равно:

Тх = (tSM+ tСД) · n, где tSM - время суммирования; tСД - время сдвига.

Согласно выражению (1) умножение со старших разрядов множителя должно выполняться в следующей последовательности:

- множимое сдвигается на 1 разряд вправо, т.е. X·2^-1;

- анализируется старшая цифра множителя y₁. Если y₁ = 1, то X·2^-1 участвует в формировании произведения, при y₁ = 0, X·2^-1 - не участвует в формировании произведения.

Выполнение такой последовательности соответствует умножению на старший разряд множителя и справедливо при умножении на все последующие разряды. Так, при умножении на второй разряд:

- производится второй сдвиг множимого, т.е. (X·2^-1)·2^-1;

- анализируется значение y₂ и осуществляется или не осуществляется передача X·2^-1 на суммирование.

Процесс умножения повторяется до просмотра всех y(i), i = 1,2,...,n.