Операции сложения чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах с фиксированной запятой

Для выполнения арифметических операций над двоичными числами в ЭВМ могут использоваться прямой, обратный или дополнительный код. Прямой код Х_пр числа Х = х_m x_m-1... x₀ x_-1 x_-n с учетом знака S можно опре­делить из выражения

[Х]_пр = S.½X½.

Если в ЭВМ модуль числа представлен с фиксированной запятой, то Х_пр или целое, или дробное. Так, число Х = 1101101,11 в прямом коде может иметь два вида: как целое или дробное (с масштабным коэффициентом ×2⁺⁷) в разрядной сетке 1 байт 0.1101101 или 1.1101101 (число отрицательное). В зависимости от масштабного коэффициента и разрядности сетки часть разрядов мантиссы любого числа может теряться. Нуль в прямом коде допускается двух видов: 0.0...0 или 1.0...0. В прямом коде легко выполнять операции ввода чисел, умножения и сложения с одинаковыми знаками слагаемых. Однако операции вычитание и деление без изменения схемы сумматора проще реализуются с использованием обратных [Х]₀ или дополнительных [X]_Д кодов. Обратный и дополнительный коды можно получить по формулам

где m и n -номера позиций старшего и младшего разряда. В зависимости от положения запятой, если числа целые, то n = 0, а если дробные, то m = 0.

Из формул получения [Х]₀ и [Х]_Д видно, что прямой, обратный и дополнительный коды положительного числа совпадают. Обратный код отрицательного числа можно получить путем инверсии разрядов мантиссы

так как равенство подтверждается сложением

.

Отсюда справедливо также равенство

Если к обратному коду отрицательного числа прибавить единицу в младший разряд (+2^-n), получим дополнительный код

Справедливо также равенство

Представим числа Х₁ = +125₍₁₀₎, Х₂ = -5,5₍₁₀₎ с фиксированной запятой после младшего разряда в разрядной сетке 1 байт в двоичной СС в прямом, обратном и дополнительном кодах:

Сложим числа Х₁ иХ₂ в 2СС с фиксированной запятой в прямом (а), обратном (б) и дополнительном (в) кодах:

а)		+	.1111101		б)	+	0.1111101		в)		+	0.1111101
		.0000101			1.1111010				1.1111011
		¬	.0000010				0.1110111				¬	0.1111000
							0.1111000

Из примеров сложения видно, что при сложении чисел в прямом, обратном и дополнительном коде результат получается в этих кодах. В прямом коде числа складываются без знака (в примере +125+5), если знаки разные, то операция не выполняется, наличие переноса в знаковый разряд (пример (а)) указывает на переполнение разрядной сетки. В об­ратном и дополнительном кодах числа складываются со знаками. Перенос из знакового разряда в дополнительном коде отбрасывается, а в обратном коде распространяется в сторону младшего разряда (цепь циклического переноса).

Недостатком обратного кода является двоякое представление нуля 0.0... 0 и 1.1... 1, а также увеличение времени сложения за счет распространения циклического переноса. В дополнительном коде нуль представлен только 0.0... 0, отсутствует циклический перенос и корректировка результата сложения заключается в простом отбрасывании переноса из знакового разряда. Однако для получения дополнительного кода отрицательного числа требуется не только инвертирование разрядов числа, которое заменяется в АЛУ передачей с обратных выходов триггеров регистра, но и прибавление единицы к младшему разряду в сумматоре. Недостатком сложения в обратном и дополнительном кодах является трудность определения переполне­ния разрядной сетки (ПП), которое определяется вычислением функции

ПП,

где x₃,y₃,z₃ - знаки слагаемых и результата соответственно. Знаки слагаемых x₃,y₃ могут стираться после выполнения операции в одно- или двухадресных командах. Для устранения этого недостатка при сложении чисел с одинаковыми знаками могут использоваться модифицированные обратный и дополнительный коды. В них для представления числа используют два одинаковых знаковых раз­ряда 00.(+) или 11.(-). Если после сложения по тем же правилам в знаковых разрядах окажется 00. или 11., то результат правильный, соответственно, положительный или отрицательный, а если 10. или 01., то необходимо фиксировать переполнение разрядной сетки. Эти результаты при сложе­нии в модифицированномдополнительном коде можно пояснить примерами

Заметим, что при сложении чисел в обратном и дополнительном ко­дах с разными знаками переполнения не происходит.