Уравнение Ланжевена

Применение метода Монте-Карло к неравновесным задачам

Приложения метода Монте-Карло к наносистемам, состоящим из нескольких частиц

Вариационный метод Монте-Карло. Подход к интегрированию методом Монте-Карло используется для оценки многомерных интегралов. Это расчет основного энергетического состояния многочастичных систем Е₀

,

как например нескольких электронов в атоме, молекуле или квантовой точке.

В этом уравнении Н – гамильтониан и

(7)

– пробная функция, где коэффициенты ряда нормализованы

Пробная волновая функция содержит ряд вариационных параметров. Интеграл (7) можно переписать через плотность распределения вероятностей волновой функции . Это выражение составляет основу для наиболее точных вычислений свойств квантовых многочастичных систем, находящихся в основном состоянии.

Для расчета функции распределения и средних величин термодинамических свойств нескольких взаимодействующих частиц, заключенных в ограниченном объеме, также можно использовать выборку по значимости

.

Обычный способ проведения выборки по значимости в таких расчетах состоит в генерации рядов случайных точек, распределенных согласно в квантовом случае и в классическом случае.

Затем в первом случае вычисляется среднее значение «локальной энергии»

а в последнем – лишь средняя величина потенциальной энергии . Это лишь отбор, и можно провести выборку точек R в 3-мерном пространстве в соответствии с какой нибудь другой функцией распределения. Как уже говорилось ранее, идея состоит в том, чтобы суммировать функции E(R) или , имеющие самые маленькие из возможных флуктуаций. Следовательно, если флуктуации этих функций все же большие, то можно использовать другую выборку по значимости при условии, что флуктуация распределения аналитически интегрируется так, что вес точек надлежащим образом может быть нормализован.

Метод Монте-Карло может использоваться для моделирования временных изменений состояния стохастической системы во времени, когд известны скорости переходов. Здесь скорости переходов не могут быть произвольными. Их выбор описывает реальный неравновесный физический процесс перехода, обусловливающий динамику системы, и должен быть представлен заранее.

В физических процессах матрица перехода не формируется произвольно, а ее можно каким-нибудь образом вывести или аппроксимировать. Напрмер, рассмотрим процесс диффузии атома на поверхности. Так как этот атом может перемещаться налево, направо, вверх или вниз (простая модель с вероятностью перехода, деленной на k_bT (зависящей от энергетических барьеров, которые атому требуется преодолеть), можно определить четыре матрицы переходов для четырех процессов. Эти элементы представляют собой четыре факора Больцмана, которые известны, если известны четыре потенциальных барьера. Именно это имеется в виду, когда говорится о «матрице переходов реального процесса, известного заранее».

Типичные проблемы, решаемые с помощью этого метода, – проблемы вычисления транспортных свойств, например, расчет переноса носителей в электронных устройствах, касающийся решения уравнения переноса Больцмана, переноса энергии, массы, импульсов, переносов агрегатирования и роста.

Если мастер-уравнению, отражающему изменение некоторой функции распределения во времени, присоединить уравнение движения частиц под воздействием внешних сил и случайное слагаемое, учитывающее стохастический энергетический обмен (в случае контакта с тепловой ванной), то получится уравнение Ланжевена.

Уравнение Ланжевена используется для описания броуновского движения частицы в жидкости. Вместо наблюдения за изменением скорости во времени, как дает уравнение Винера (простое математическое выражение броуновского движения при допущении, что текущая скорость частицы в жидкости флуктуирует случайно), с помощью уравнения Ланжевена рассматривается изменение со временем ускорения, обусловленного стохастической силой,

(20)

m, f, m/τ - коэффициент трения, определяемый из закона Стокса, который при решении уравнения Навье – Стокса для низкого числа Рейнольдса.

Если движение частиц подчиняется этому уравнению, тогда функция их распределения удовлетворяет мастер-уравнению. Поэтому, чтобы найти изменение функции распределения во времени, вместо решения мастер-уравнения можно рассмотреть набор частиц и их перемещения, согласно соответствующему уравнению Ланжевена. Далее можно записать величины, представляющие интерес, например, полную энергию, плотность, намагниченность, силу тока и т.д., как функции времени. Эти величины необходимы, поскольку, в конечном счете, мы хотим вычислить статические средние этих физических переменных. Для простоты в данном обсуждении мы считаем частицы невзаимодействующими. В этом случае функцию многочастичного распреледения можно разложить на произведение одночастичных функций распределения. Следовательно, можно учитывать уравнение Ланжевена только для отдельной частицы, моделировать изменение состояния частицы во времени и регистрировать средние величины. Для систем взаимодействующих частиц, кроме того, можно использовать теорию среднего поля и выполнить тоже самое разложение функции распределения. Частицы множества перемещаются во внешнем, к тому же случайном, поле , к которому следует также добавить влияние поля, обусловленного другими частицами.

Простой пример- изучение процессов переноса с помощью уравнения Больцмана. Это уравнение можно решить для нескольких предельных случаев или в пределах некоторых приближений, например, в приближении времени релаксации. Полученные результаты, несмотря на их невысокую точность, могут помочь понять физику проблемы. В более сложных случаях, глее имеют место многочисленные процессы рассеяния и нельзя найти аналитическое решение, довольно точные результаты можно получить с помощью динамического (называемого также кинетическим) метода МК, предназначенного для численного интегрирования мастер-уравнения (мы снова учитываем число частиц). Ниже приводится общий алгоритм для определения изменения функции распределения во времени весьма общим и абстрактным путем, хотя на практике можно использовать уравнение типа Ланжевена. Это дает общее представление о том как следует выполнять такое моделирование. Пока не будем касаться вопроса об эффективности такого алгоритма.

Рассмотрим мастер-уравнение (10) с известными скоростями перехода

i=1….,s

Каждое из этих уравнений (здесь дискретизированное по времени) представляет различное состояние системы. Для системы невзаимодействующих частиц s-точное определяемое число одночастичных состояний. Если иметь дело с частицей в боксе, то его объем можно дискретизировать в виде трехмерной решетки, и тогда s определяется как число решеточных узлов, умноженное на число возможных импульсов, зависящих от выбранного значения обрыва импульса. Очевидно, что это число быстро становится очень большим. Для системы из N частиц число возможных состояний равно S=S^N,и индекс состояния i принимает значения от 1 до S. Состояние системы можно представить, как один заполненный бокс среди S имеющихся. Исходный бокс I выбирается случайно; далее из него частица продвигается в другой бокс согласно правилам перехода, определяемого Для системы невзаимодействующий частиц матрица переходов является неизменной и может быть вычислена в начале прогона МК моделирования только один раз. Иначе, в системе взаимодействующих частиц матрицу переходов требуется обновлять на каждом временном шаге. Если известны матрица переходов и текущее состояние, то на следующем временном шаге состояние выбирается с помощью случайного числа r,0<r<1: новое состояние j среди возможных S будет выбрано, если

так как

Если матрица перехода (Sизвестна и была вычислена только один раз вначале, тогда состояние на следующем шаге просто получается только один раз вначале, тогда состояние на следующем шаге просто получается при выборе случайного числа r,0<r<1, при этом определенному r соответствует переход i. Это неверно для системы взаимодействующий частиц, в которой скорости перехода могут зависеть от текущего состояния системы, в этом случае данную матрицу следует обновлять на каждом временном шаге. Этот процесс может повторяться при обновлении каждого j –ого столбца матрицы перехода, пока не будет достигнуто равновесие и не произведен расчет статистических данных. Процесс обновления состояния никак не отвергается; каждый шаг «блуждания» не соответствует какому-нибудь реальному физическому временному шагу, поскольку некоторые из выбранных скоростей большие, а некоторые маленькие; более того, физические параметры системы. Например температура, учитываются при вычислении скоростей перехода.

Для реальной системы многие из переходов совершенно невероятны или просто невозможны из-за огромного числа состояний, и то этой причине большинство элементов матрицы нулевые. Из состояния j можно перейти только в очень немногие доступные состояния i; поэтому матрица перехода отлична от нудя только при переходе в достигаемые состояния и равна нулю в остальных случаях.

Этот алгоритм, хотя он самый общий и простой, часто непригоден вследствие большого числа состояний, в которых может пребывать система. Однако во многих случаях его можно усовершенствовать. При рассмотрении многих реальных задач допускается движение частиц ансамбля в соответствии с уравнением движения Ланжевена или каким-нибудь другим стохастическим уравнением, соответствующим мастер-уравнению (10). После окончания процесса релаксации, исходя из траекторий движения частиц, можно рассчитать функции распределения устойчивых состояний и другие средние величины. Можно также наблюдать за процессами кратковременного выхода из состояния равновесия, что оказывается целесообразным в таких расчетах. Этот метод, называемый еще кинетическим методом Монте-Карло, используется также для исследования диффузии и процессов роста, которые слишком продолжительны, чтобы их можно было моделировать методами молекулярной динамики.