Интегрирование методом Монте-Карло

Стандартные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, Симпсона, квадратуры Гаусса. Эти методы, даже если они очень точны для одномерных (обычных) интегралов, быстро обращаются в предельно допустимые при расчетах многомерных (многократных) интегралов, так как необходимое число оценок функции растет весьма быстро, как , где N – число оценок функции, требуемое для вычисления одномерного интеграла, а d – размерность многомерного интерала. В этой ситуации интегрирование методом Монте-Карло, использующее случайные числа, может стать очень удобным.

Независимо от размерности интеграл можно аппроксимировать суммой, в которой функция определяется в случайных точках выражением

Точки х_i случайно и равномерно распределены на [a, b). Так как число точек N растет, центральная предельная теорема (ЦПТ) гарантирует конвергенцию суммы к реальному значению интеграла, причем ошибка имеет порядок .

Вышеупомянутый метод интегрирования, хотя и сходящийся, по-видимому, не очень эффективен, если на данном интервале функция имеет большие осцилляции. Рассмотрим, например, функцию в интервале [0, 1). Разумеется, большое число точек и оценки функции будут «бесполезными» вблизи х=0, где значение функции намного меньше (более чем на 4 порядка), чем для точек вблизи х=1. Выборку чисел на интервале лучше производить неравномерно, чтобы накопить больше точек вблизи х=1 и меньше точек в области, близкой к х=0. Это можно осуществлять выборкой по значимости. Подберем неоднородную функцию распределения Р(х), согласно которой будут выбираться точки хi. Кроме того, можно записать интеграл в следующей форме:

Заметим, что теперь интегрирование функции проводится в точках, распределенных согласно Р. Функция Р, конечно, аналитически известна и нормализована к единице. Флуктуацией будет меньше в подынтегральном выражении , если функция распределения Р, которую можно выбрать по желанию, будет похожа на исходную функцию f.

Основная идея выборки по значимости, по крайней мере в том, чтобы подобрать функцию Р, похожую на f, поэтому функция почти не флуктурирует, и разброс результатов вычислений незначителен. Другими словами, значение интеграла определяется точно даже при относительно небольшом количестве точек.

Формула интегрирования непосредственно обобщается в кратные интегралы

,

где – объем области интегрирования. Например, для двукратного интеграла с прямоугольной области интегрирования имеем

.