Рассмотрим пример решения матричной игры в чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий за рынок продукции региона.
Два предприятия производят продукцию и поставляют ее на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.
Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трех различных технологий. В зависимости от экологичности технологического процесса и качества продукции, произведенной по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции.
Технология
Цена реализации единицы продукции, д.е.
Полная себестоимость единицы продукции, д.е.
Предприятие 1
Предприятие 2
I
II
III
Таблица — Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (д.е.).
В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:
Y = 6 - 0.5⋅X,
где Y — количество продукции, которое приобретет население региона (тыс. ед.), а X — средняя цена продукции предприятий, д.е.
Данные о спросе на продукцию в зависимости от цен реализации приведены в таблице:
Цена реализации 1 ед. продукции, д.е.
Средняя цена реализации 1 ед. продукции, д.е.
Спрос на продукцию, тыс. ед.
Предприятие 1
Предприятие 2
Таблица — Спрос на продукцию в регионе, тыс. ед.
Значения Долей продукции предприятия 1, приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены:
Цена реализации 1 ед. продукции, д.е.
Доля продукции предприятия 1, купленной населением
Предприятие 1
Предприятие 2
0,31
0,33
0,18
0,7
0,3
0,2
0,92
0,85
0,72
Таблица — Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию
По условию задачи на рынке региона действует только 2 предприятия. Поэтому долю продукции второго предприятия, приобретенной населением, в зависимости от соотношения цен на продукцию можно определить как единица минус доля первого предприятия.
Стратегиями предприятий в данной задаче являются их решения относительно технологий производства продукции. Эти решения определяют себестоимость и цену реализации единицы продукции. В задаче необходимо определить:
Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями?
Существуют ли технологии, которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?
Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какое предприятие окажется в выигрышном положении?
Определим экономический смысл коэффициентов выигрышей в платежной матрице задачи. Каждое предприятие стремится к максимизации прибыли от производства продукции. Но кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок продукции в регионе. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут значения разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. В случае, если эта разница положительна, выигрывает предприятие 1, а в случае, если она отрицательна — предприятие 2.
Рассчитаем коэффициенты выигрышей платежной матрицы. Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции.
Прибыль предприятия в данной задаче зависит:
от цены и себестоимости продукции;
от количества продукции, приобретаемой населением региона;
от доли продукции, приобретенной населением у предприятия.
Таким образом, значения разницы прибыли предприятий, соответствующие коэффициентам платежной матрицы, необходимо определить по формуле:
D = p⋅(S⋅R1 - S⋅C1) - (1 - p)⋅(S⋅R2 - S⋅C2),
где D — значение разницы прибыли от производства продукции предприятия 1 и предприятия
p — доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением региона;
S — количество продукции, приобретаемой населением региона;
R1 и R2 — цены реализации единицы продукции предприятиями 1 и
C1 и C2 — полная себестоимость единицы продукции, произведенной на предприятиях 1 и
Вычислим один из коэффициентов платежной матрицы.
Пусть, например, предприятие 1 принимает решение о производстве продукции в соответствии с технологией III, а предприятие 2 — в соответствии с технологией II. Тогда цена реализации единицы. продукции для предприятия 1 составит 2 д.е. при себестоимости единицы. продукции 1,5 д.е. Для предприятия 2 цена реализации единицы. продукции составит 6 д.е. при себестоимости 4 д.е..
Количество продукции, которое население региона приобретет при средней цене 4 д.е., равно 4 тыс. ед. (таблица 1). Доля продукции, которую население приобретет у предприятия 1, составит 0,85, а у предприятия 2 — 0,15 (табл. 1.3). Вычислим коэффициент платежной матрицы a32 по формуле:
где i=3 — номер технологии первого предприятия, а j=2 — номер технологии второго предприятия.
Аналогично вычислим все коэффициенты платежной матрицы. В платежной матрице стратегии A1 — A3– представляют собой решения о технологиях производства продукции предприятием 1, стратегии B1– B3 — решения о технологиях производства продукции предприятием 2, коэффициенты выигрышей — разницу прибыли предприятия 1 и предприятия
B1
B2
B3
Minj
A1
0,17
0,62
0,24
0,17
A2
0,3
-1,5
-0,8
-1
A3
0,9
0,5
0,4
0,4
Maxi
0,62
0,4
Таблица — Платежная матрица в игре «Борьба двух предприятий».
В данной матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий. Это значит, что для обоих предприятий нет заведомо невыгодных технологий производства продукции. Определим минимальные элементы строк матрицы. Для предприятия 1 каждый из этих элементов имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Минимальные элементы матрицы по строкам имеют значения: 0,17, -1,5, 0,4.
Определим максимальные элементы столбцов матрицы. Для предприятия 2 каждый из этих элементов также имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Максимальные элементы матрицы по столбцам имеют значения: 3, 0,62, 0,4.
Нижняя цена игры в матрице равна 0,4. Верхняя цена игры также равна 0,4. Таким образом, нижняя и верхняя цена игры в матрице совпадают. Это значит, что имеется технология производства продукции, которая является оптимальной для обоих предприятий в условиях данной задачи. Эта технология III, которая соответствует стратегиям A3 предприятия 1 и B3 предприятия Стратегии A3 и B3 — чистые оптимальные стратегии в данной задаче.
Значение разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 при выборе чистой оптимальной стратегии положительно. Это означает, что предприятие 1 выиграет в данной игре. Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс. д.е. При этом на рынке будет реализовано 5 тыс. ед. продукции (реализация равна спросу на продукцию, таблица 1).. Оба предприятия установят цену за единицу продукции в 2 д.е. При этом для первого предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 1,5 д.е., а для второго — 1 д.е. Предприятие 1 окажется в выигрыше лишь за счет высокой доли продукции, которую приобретет у него население.
