Метод заключается в поочерёдном нахождении частных экстремумов целевой функции по каждому фактору. При этом на каждом этапе стабилизируют (k-1) факторов и варьируют только один i-ый фактор
Порядок расчёта: в локальной области факторного пространства на основании предварительных опытов выбирают точку, соответствующую наилучшему результату процесса, и из неё начинают движение к оптимуму. Шаг движения по каждому фактору задаётся исследователем. Вначале фиксируют все факторы на одном уровне и изменяют один фактор до тех пор, пока будет увеличение (уменьшение) функции отклика (Y), затем изменяют другой фактор при стабилизации остальных и т. д. до тех пор пока не получат желаемый результат (Y). Главное правильно выбрать шаг движения по каждому фактору.
Этот способ наиболее прост, нагляден, но движение к оптимуму длительно и метод редко приводит в оптимальную точку. В настоящее время он иногда применяется при машинном эксперименте.
Эти методы обеспечивают движение к оптимуму по прямой перпендикулярной к линиям равного отклика, т. е. в направлении градиента функции отклика.
Градиентные методы имеют несколько разновидностей, различающихся правилами выбора ступеней варьирования и рабочих шагов на каждом этапе движения к экстремуму.
Сущность всех методов состоит в следующем: первоначально на основании предварительных опытов выбирают базовую точку. Затем на каждом этапе вокруг очередной базовой точки организуют пробные эксперименты, по результатам которых оценивают новое направление градиента, после чего в этом направлении совершают один рабочий шаг.
Метод градиента (обычный) осуществляется по следующей схеме :
а) выбирают базовую точку;
б) выбирают шаги движения по каждому фактору;
в) определяют координаты пробных точек;
г) проводят эксперименты в пробных точках. В результате получают значения параметра оптимизации (Y) в каждой точке.
д) по результатам опытов вычисляют оценки составляющих вектор-градиента в т. М для каждого i-го фактора:
(5.30)
где b1- расчетный коэффициент уравнения регрессии.
Аналогично вычисляют grad Y относительно Xi и т. д.
е) находят координаты следующей рабочей точки на направлении градиента (X i+1):
(5.31)
где Hi-шаг движения по Xi.
Xi – координаты предыдущей рабочей точки.
ж) координаты этой рабочей точки принимают за новую базовую точку, вокруг которой проводят эксперименты в пробных точках. Вычисляют градиент и т. д., пока не достигнут желаемого параметра оптимизации (Y). Корректировка направления движения производится после каждого шага.
Достоинства метода: простота, более высокая скорость движения к оптимуму.
Недостатки: большая чувствительность к помехам. Если кривая имеет сложную форму, метод может не привести к оптимуму. Если кривая отклика пологая - метод малоэффективен. Метод не даёт информации о взаимодействии факторов.
Лекция 13
а) Метод крутого восхождения (Бокса - Уилсона).
б) Принятие решений после крутого восхождения.
в) Симплексный метод оптимизации.
г) Достоинства и недостатки методов.
5.7.3 Метод крутого восхождения (Бокса- Уилсона)
Этот метод является синтезом лучших черт градиентных методов, метода Гаусса-Зейделя и методов ПФЭ и ДФЭ – как средства получения математической модели процесса. Решение задачи оптимизации данным методом выполняется так, чтобы шаговое движение осуществлялось в направлении наискорейшего возрастания (убывания) параметра оптимизации. Корректировка направления движения (в отличие от градиентных методов) производится не после каждого шага, а по достижению частного экстремума целевой функции. Далее в точках частного экстремума ставится новый факторный эксперимент, составляется новая математическая модель и вновь повторяется крутое восхождение до достижения глобального оптимума. Движение по градиенту начинают из нулевой точки(центра плана).
Метод крутого восхождения предполагает движение к оптимуму по градиенту.
(5.32)
где i,j,k-единичные векторы в направлении соответствующих координатных осей.
(5.33)
Порядок расчёта.
Исходными данными является математическая модель процесса, полученная любым способом (ПФЭ, ДФЭ и т.д.).
Расчеты проводят в следующем порядке:
а) уравнение регрессии лучше перевести в натуральный вид по формулам кодирования переменных:
где xi-кодированное значение переменной xi;
Xi- натуральное значение переменной xi;
XiЦ-центральный уровень фактора в натуральном виде;
li -интервал варьирования фактора xi в натуральном виде.
Далее все вычисления проводят по уравнению в натуральном виде .
б) вычисляют шаги движения к оптимуму по каждому фактору.
Для этого вычисляют произведения коэффициентов уравнения регрессии в натуральном виде на соответствующие интервалы варьирования
Bi*.lI,
Затем выбирают из полученных произведений максимальное по модулю,а соответствующий этому произведению фактор принимают за базовый фактор(Bala). Для базового фактора следует установить шаг движения, который рекомендуется задавать меньшим или равным интервалу варьирования базового фактоpa
Знак шага движения la’ должен совпадать со знаком коэффициента уравнения регрессии, соответствующего базовому фактору (Ba). Величина шагов для других факторов вычисляется пропорционально базовому по формуле:
(5.34) (30)
Знаки шагов движения также должны совпадать со знаками соответствующих коэффициентов уравнения регрессии.
в) вычисляют функцию отклика в центре плана, т. е. при значениях факторов равных центральному уровню факторов, т. к. движение к оптимуму начинают из центра плана.
Далее производят вычисление параметра оптимизации, увеличивая значения факторов на величину соответствующего шага движения, если хотят получить Ymax. В противном случае, если необходимо получить Ymin, значения факторов уменьшают на величину шага движения.
(5.35)
Процедуру повторяют, последовательно увеличивая количество шагов до тех пор, пока не достигнут желаемого значения параметра оптимизации (Y). Каждый из факторов после g шагов будет иметь значение:
(5.33)
