Сравнение нескольких дисперсий

Сравнение нескольких дисперсий проводят по критерию Кохрена или Бартлета. Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов, то есть, с равными степенями свободы, то для их сравнения используют критерий Кохрена:

, (3.9)

где -выборочная дисперсия каждой выборки;

-максимальная выборочная дисперсия;

n - количество суммируемых дисперсий.

Затем по таблице “Квантили распределения Кохрена” находят табличный критерий Кохрена (G табл.), который зависит от количества степеней свободы (f), при оценке каждой из (f = n -1), от количества дисперсий (n) и от уровня значимости a .

Если G расч. окажется меньше G табл. дисперсии однородны, то есть являются оценкой одной генеральной дисперсии. В противном случае, дисперсии неоднородны и следует проверить анормальность результатов измерений в каждой выборке, в первую очередь в выборке, по результатам которой вычислена , a затем повторить все расчеты заново.

Если выборочные дисперсии получены по выборкам разного объема, то есть с разными степенями свободы, то проверка их однородности проводится по критерию Бартлета. Но расчет этого критерия несколько трудоемок. В этом случае можно пользоваться сравнением по критерию Фишера. Этот метод менее точен, но предельно прост.

Для расчета критерия Фишера в данном случае можно взять наибольшую и наименьшую из сравниваемых дисперсий. При этом:

(3.10)

Fтабл. находится по таблице “Квантили распределения Фишера”, аналогично описанному в разделе 3.2.1.

Если , дисперсии однородны.

3.3 Сравнение двух средних

Задача сравнения средних значений выборок (выборочных математических ожиданий) - также одна из самых распространенных. Цель сравнения - выявить, можно ли считать сравниваемые средние значения выборок (математических ожиданий) оценками одного и того же генерального математического ожидания, то есть являются ли сравниваемые средние однородными. Однородность сравниваемых средних говорит о том, что эти выборки принадлежат к одной генеральной совокупности. Необходимо заметить следующее: если сравниваемые выборки имеют неоднородные дисперсии, то процедура сравнения резко усложняется. В этом случае можно рекомендовать специальные методы, которые мы рассматривать не будем. Рассматриваемый здесь метод предполагает, что дисперсии однородны, то есть .

Предварительно рассчитываем среднюю дисперсию по формуле:

, (3.11)

где - выборочные дисперсии первой и второй выборок,

,степени свободы сравниваемых выборок.

Для сравнения двух средних арифметических используют критерий Стьюдента (t - критерий). Расчетное значение критерия Стьюдента вычисляют по следующей формуле:

, (3.12)

где X₁,Х₂ - средние арифметические (математические ожидания) сравниваемых выборок;

n ₁,n₂ -объем сравниваемых выборок.

Табличный критерий Стьюдента находится по таблице “Квантили распределения Стьюдента”, который зависит от числа степеней свободы выборок (f) и уровня значимости (a). Число степеней свободы выборок , при этом следует учесть, что ; .Если , то и есть оценки одного генерального математического ожидания, и выборки относятся к одной генеральной совокупности.

При сравнении нескольких средних можно также использовать критерий Стьюдента, проводя сравнения попарно. Однако, для использования при сравнении полной информации о всех средних такое сравнение проводят при помощи множественного рангового критерия Дункана. В данном курсе этот метод не рассматривается.

3.4 ДИСПЕРСИЯ ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ

Лекция 4

а) Дисперсия воспроизводимости при различном количестве параллельных опытов.

б) Дисперсия воспроизводимости при одинаковом количестве параллельных опытов.

г) Контрольные вопросы.

Дисперсия воспроизводимости характеризует ошибки параллельных опытов, т.е. опытов проведенных в одном режиме, но в разное время.

Так, если проведено m параллельных опытов и получен ряд значений выходных величин

Y₁, Y₂, Y₃, …, Y_m, т.е. выборка случайной величины Y_i, то дисперсию воспроизводимости вычисляют по формуле:

, (3.13)

где m – количество параллельных опытов;

Y_i - значение выходной величины Y;

- математическое ожидание Y.

Дисперсия воспроизводимости является важным показателем, характеризующим уровень «шума» на установке.

На практике часто возникают ситуации, когда необходимо вычислить общую дисперсию воспроизводимости всего эксперимента. При этом различают случаи, когда вычисляют дисперсию воспроизводимости при различном и при одинаковом количестве параллельных опытов.

3.4.1 Дисперсия воспроизводимости при различном количестве параллельных опытов.

Предположим, анализируется n проб какого-то химического вещества. При анализе каждой пробы производится различное количество параллельных опытов m₁, m₂, m₃,…, m_n

Таблица 3.1- Матрица планирования экспериментов

№ пробы	Результаты параллельных опытов	Количество параллельных опытов
Y₁	Y₂	Y₃	. . . . .	Y_m
. . . n	Y₁₁ Y₂₁ Y₃₁ . . . Y_n1	Y₁₂ Y₂₂ . . . Y_n2	Y₂₃ Y₃₃ . . . Y_n3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	Y_1m Y_2m Y_3m . . . Y_nm	m₁ m₂ m₃ . . . m_n	Y₁ Y₂ Y₃ . . . Y_n	S₁² S₂² S₃² . . . S_n²

1) Вычисляем построчное (частное) математическое ожидание для каждого опыта:

, (3.14)

где m_i – количество параллельных опытов в каждой строке.

2) Вычисляем построчные (частные) дисперсии:

, (3.15)

3) Проверяем однородность построчных дисперсий по критерию Фишера (F), т.к. различное количество параллельных опытов в каждой строке (m_i).

, (3.16)

где F_табл – табличный критерий, который находим по степеням свободы числителя и знаменателя (f), они равны f = m_i – 1.

Если F_р< F_табл, то дисперсии однородны и можно вычислять общую дисперсию воспроизводимости. В противном случае дисперсии не однородны. В этом случае надо проверить анормальность результатов в строке с максимальной дисперсией, исключить грубые ошибки и повторить проверку однородности построчных дисперсий.

4) Общая дисперсия воспроизводимости всех опытов будет равна средневзвешенному значению построчных дисперсий:

, (3.17)

где S_i² – значения построчных дисперсий;

f_i – степени свободы построчных дисперсий.

Общая степень свободы (f_воспр):

, (3.18)

3.4.2 Дисперсия воспроизводимости при одинаковом количестве параллельных опытов.

В этом случае количество параллельных опытов одинаково, т.е.

m₁ = m₂= m₃ = … = m_n = m.

Аналогично вычисляются построчные математические ожидания и дисперсии. Однородность дисперсий здесь проверяют по критерию Кохрена (G)

, (3.19)

Если G_р < G_табл – дисперсии однородны и можно вычислять общую дисперсию воспроизводимости.

В противном случае дисперсии неоднородны, необходимо проверить анормальность результатов в строке с максимальной дисперсией, исключить грубые ошибки и повторить проверку однородности построчных дисперсий.

Расчет общей дисперсии воспроизводимости проводят по формуле:

, (3.20)

т.е. при равном количестве параллельных опытов дисперсия воспроизводимости равна среднеарифметическому значению построчных дисперсий с количеством степеней свободы (f_воспр):

f_воспр= n(m - 1), (3.21).

Контрольные вопросы

1 Опишите метод проверки однородности результатов измерений.

2 Опишите метод сравнения двух и нескольких дисперсий.

3 Опишите метод сравнения двух средних.

4 Дайте понятие дисперсии воспроизводимости.

5 Как вычислить дисперсию воспроизводимости при различном количестве параллельных опытов?

6 Как вычислить дисперсию воспроизводимости при одинаковом количестве параллельных опытов?