Лекция № 12
Размытые множества определяются как отображение множества M на единичный интервал. Если на этом множестве имеется некоторое размытое множество А, то это множество задается с помощью принадлежности: .
Возьмем для примера множество русских писателей (M).
Тургенев, Пушкин, Толстой, Достоевский, Короленко, Салтыков-Щедрин.
Выделим великих русских писателей (А)
Эти числа будут размытыми.
Носителем нечеткого множества А называется множество таких точек M , для которых величина положительна.
Высотой нечеткого множества А называется величина
Точкой перехода нечеткого множества А называется такой элемент множества И , степень принадлежности которого множеству А равна 0,5
В том случае, когда элементы множества непрерывные
Основные операции над нечеткими множествами:
1. Операция эквивалентности:
Два нечетких множества А и В являются эквивалентными, тогда когда для элементов этих множеств имеет место эквивалентность функций принадлежности.
mА (М) = mВ (М)
2.Операция включения:
Размытое множество А включено в размытое множество В(АÌВ) тогда когда функция принадлежности А включена в функцию принадлежности В:
mА (М)Í mВ (М)
3. Операция дополнения размытого множества:
Это нечеткое множество, определяемое функцией принадлежности:
mА (М) = 1- mА (М)
4.Операция объединения:
Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:
mА È В (М) = max(mА (М),mВ (М))
АÈВ=òmА È В (u)/u
5.Операция пересечения:
Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:
mА Ç В (М) = min(mА (М),mВ (М))
АÇВ=òmА Ç В (u)/u
6.Операция сложения (алгебраическая сумма нечетких множеств):
Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:
mА Å В (М) = mА (M)+mВ (М)-mA (M)*mB (M)
7.Операция умножения (произведение нечетких множеств):
Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:
mАВ (М) = mА (M)*mВ (М)
АВ=òmА (u)* mВ (u)/u
8.Декартово произведение над нечеткими множествами:
Разные исходные пространства
Разные нечеткие множества
Можем рассматривать М1xМ2x…, а можем и А1 x А2 x…, т.е.
mА1 x А2 x … (М1xМ2x…)=min(mА1 (М),mА2 (М),…)
Пример:
Пусть базовое множество включает числа от 1 до 10, т.е. М=(1,10).
На нем рассматриваются 2 разных множества:
А=0.8/3+1/5+0.6/6
В=0.7/3+1/4+0.5/5
1. Операция дополнения:
mА (М) =1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10
2. Операция объединения:
АÈВ=0.8/3+1/5+1/4+0.6/6
3. Операция пересечения:
АÇВ=0.7/3+0.5/6
4. Операция умножения:
А*В=0.56/3+0.3/6
Пример декартова произведения нечетких множеств:
Пусть существует 2 базовых множества: М1=(3,5,7) и М2=(1,2,4). Найти декартово произведение.
А1=0.5/3+ 1/5+ 0.6/7 А2=0.3/1+ 0.7/2
А1*А2={0.3/(3,1)+ 0.3/(5,1)+ 0.3/(7,1)+ 0.5/(3,2)+ 0.7/(5,2)+…}
Как получить m?
mмол (M)=mмол (люди(возраст))
М={Иванов, Петров, …}
Расстояния между разными нечеткими множествами ищутся при помощи функций принадлежности:
Пусть А и В - нечеткие подмножества универсального множества Е.
При вводе понятия «расстояние » предъявляются следующие требования:
1. r(А, В)>=0
2. r(А, В)= r(В, А)
3. r(А, В)< r(А, С)+ r(С, В)
Тогда расстояния определяются по формулам:
Расстояние Хемминга (или линейное расстояние): r(А, В)=å½mА (хi )* mВ (хi )½, т.е. r(А, В)Î[0,n]
Евклидово или квадратичное расстояние: e(А, В)=Öå( mА (хi )- mВ (хi ))2 , e(А, В) Î[0,Ön] и т.д.