У Слейтора все граничные точки включены в множество.
Точки, лучшие, чем y в смысле ³ заполняют прямой угол, стороны которого параллельны осям координат (включая границы угла). Вершиной угла является точка y (сама она в это множество не включается), а точки, лучшие, чем y в смысле >, составляют внутренность этого же угла.
Отношения _³, ³,>, определяемые на множестве оценок, аналогичны по смыслу отношениям ýýýf, ýýf, ýf предпочтений на множестве решений.
ýýf – не менее предпочтительнее, чем
ýf – предпочтительнее
Отношение ýýýf является квазипорядком, а отношения ýýf и ýf – строгие порядки.
Решению, наибольшему по ýýýf соответствует отношение _³ из множества всех оценок. След. наибольшее по ýýýf решение обращает в max на множестве Х каждый из критериев f1,…,fm. Эти решения считаются оптимальными, но в реальной жизни их почти нет.
Решение х0ÎХ является эффективным, если не существует решения х ÎХ:
х ýýf х0. – Рр(х)
Решение х0ÎХ является слабо эффективным, если не существует решения х ÎХ:
х ýf х0. – Sp(x)
Понятие эффективного решения теряет смысл, когда нужно найти несколько лучших решений.
Исследования показывают, что среди эффективных могут встречаться оценки (решения), оказывающиеся в определенном смысле аномальными.
Пример:Y:{yÎE2/y1£-y2}
E2 – двумерное евклидово пространство
P(y) y2
êy2 = y2-(y2)0=y2>0 êy2
êy1 = y1-(y1)0=y1=-(êy1)2<0
êy1 y0 y1
Если перейти из точки y10 в достаточно близкую эффективную точку y, то будет получен выигрыш первого порядка малости по второму критерию, за счет проигрыша второго порядка малости по первому критерию.
Если критерий f1 не считать несравненно более важным, чем f2, то можно согласиться на некоторое увеличение значения f2, допустив на порядок меньшие потери по f1. Т.о. y0 является аномальной.
Этот вывод справедлив только для непрерывных функций специального вида, причем, если все процедуры рассматриваются в промежутке от 0 до 1.
Этот пример показывает, что иногда имеет смысл выделять эффективные решения без аномалий. Для общего случая определение собственной эффективности было предложено Джоффрионом в 1918 г.
Эффективная оценка y0 называется собственно эффективной (оптимальной по Джоффриону), если существует такое положительное число q, что для любого iÎM и yÎY, для которых выполняется следующее неравенство: yi>(yi)o(1) и некоторого jÎM (M- множество критериев) такого, что yj>(yj)o(2), выполняется неравенство: (yi-(yi)o )/( yj>(yj)o) £q(3)
Заметим, что поскольку y0эффективна, то если существует оценка y, для которой при некотором i выполняется (1), то обязательно найдется j для которого будет выполняться (2) . Поэтому смысл этого определения в требовании существования q, для которого будет выполняться (3).
Все собственные решения составляют множество G(Y)
G(Y)£P(Y)£S(Y)
Если множество Y конечно, то всякая эффективная оценка является и собственно эффективной. Если Р(Y) содержит более одной оценки, то искомое qможно задать следующим равенством:
q=max {(yi-(yi)o )/( yj>(yj)o) } i¹j
Наилучшая по отношению ³ оценка y0ÎY является собственно эффективной, т.к. y0 _³y для любого yÎY и (1) не выполняется. Следующее решение, обращающее в max каждый из критериев f1,…,fm, является собственно эффективным.
Понятие собственных эффективных оценок и решений не имеет смысла, когда одни критерии несравненно важнее других.
Задачи, в которых критерии упорядочены по важности так, что каждый предыдущий важнее, чем все последующие, называются лексико-графическими задачами оптимизации, т.е. в таких задачах нестрого предпочтения является лексико-графическим порядком.
Этот порядок задается следующим образом:
y_³вхy’, когда выполняется одно из условий:
· y1> y1’
· y1= y1’ и y2> y2’
· …
· yi= yi’ и i=1,…(m-1) ym> ym’
· …
· y= y’
Для лексико-графических задач важны исключения аномальных точек.