ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В вопросах организации обработки информации с помощью ЭВМ важное место занимают системы счисления и специальное кодирование чисел.

Совокупность приемов наименования и записи чисел называют счислением. Подсистемой счисления понимают изображение чисел в определенных символах, положение символов в числах и правила выполнения арифметических действий над этими числа­ми. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с помощью определенного алфавита и по определенным правилам, называетсякодом. Применительно к счислению этокод числа.

Непозиционными системами счисления являются такие сис­темы счисления, в которых каждый символ (цифра, буква, знак и т.д.) сохраняет свое значение независимо от места положения его в числе. Значение каждой цифры (символа) постоянно. Характер­ным представителем непозиционных систем является римская си­стема счисления со сложными способом записи чисел и громозд­кими правилами выполнения арифметических операций.

Напри­мер, запись MCMXCVIII означает, что записано число 1998 (М – тысяча, С – сто, Х – десять, V – пять и т.д.)

Позиционные системы счисления обладают большими пре­имуществами в наглядности представления чисел и в простоте арифметических операций. В позиционной системе счисления зна­чение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа, например числа 1998 и 9819.

Позиционной является, например, десятичнаясистема счисле­ния, используемая в повседневной жизни.

Количество цифр и символов, которые используют для записи числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления (р). Например, в десятичной системе счисле­ния 10 цифр : (0,1,2,3, 4,5,6, 7,8,9); р = 10.

База системы счисления – это последовательность цифр и символов, которые используют для записи любого числа. Напри­мер, в десятичной системе счисления база –0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

В системе счисления нет цифры, равной основанию данной си­стемы: О< = а <р

Основание позиционной системы счисления определяет назва­ние системы.

Если р = 1, то системы быть не может, так как база содержит

только 0.

Если р = 2, то система двоичная. База содержит две цифры: 0 и 1. Если р = 3, то система троичная. База содержит три цифры: 0,1 и 2.

Если р = 8,то система восьмеричная. База содержит восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Если р = 16, то система шестнадцатеричная. База содержит 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е= 14, F= 15.

В настоящее время арифметические действия выполняются большей частью в десятичной системе счисления, которая имеет основание р = 10, а в базе –цифры от 0 до 9.

При обработке информации используются двоичная и восьме­ричная системы счисления. Они сокращают длину записи при ко­дировании программы и экономно размещают данные в памяти машины.

Для ЭВМ наиболее пригодна двоичная система счисления, при применении которой достигаются простота конструкции и ком­пактность арифметического устройства.

Двоичная система счисления позволяет использовать аппарат математической логики. Однако эта система счисления имеет ряд недостатков: значительное увеличение разрядности для изображения числа, громоздкое представление двоичными числами кодов операций, необходимость перевода для обработки чисел из деся­тичной системы в двоичную, а после обработки –из двоичной системы в десятичную.

Для упрощения работы программистов используются системы счисления, которые, с одной стороны, относительно малозначны, а с другой – кратны основанию двоичной системы. К таким сис­темам счисления относятся восьмеричная и шестнадцатеричная, при которых обеспечивается полное использование памяти.

Восьмеричная система счисления имеет основание р = 8 и базу, состоящую из цифр от 0 до 7. Каждая цифра числа в восьмерич­ной системе счисления может быть переведена в двоичную неза­висимо от других разрядов.

У шестнадцатеричной системы счисления основание р = 16, а база включает цифры от 0 до 9 и латинские буквы A,B,C,D,E,F. Шестнадцатеричная система счисления широко применяется в ЭВМ с байтовой системой организации памяти.