Медиана Кемени

Лекция №12

Принцип Парето.

Если все эксперты предпочитают альтернативу альтернативе , то и в результирующем отношении объект д.б. предпочтительнее. Точно также, если все члены группы безразличны в выборе между и , такое же д.б. результирующее отношение.

Если мы обозначим результирующее отношение для экспертов через , то результирующее отношение удовлетворяющее принципу Парето будет удовлетворять условию:

С введением мер близости (на отношениях), получена возможность определять расстояние между произвольной парой ранжирований.

Естественно предположить, что результирующее ранжирование F(P₁, ……P_m) должно быть расположено, как можно ближе к ранжированиям P₁,….P_m. Такое ранжирование М*(Р₁,…..Р_m) и называется медианой Кемени:

Если вместо ранжирования рассматриваются отношения частного порядка или эквивалентности, то медиану Кемени будем определять аналогично.

Медина Кемени определена на множестве ранжировании, либо частных порядков, либоэквивалентностей в зависимости от содержательной постановки задачи.

Во всех трех случаях множества отношений, которым принадлежит указываемый экспертами набор отношений, являются универсальными. Так как и ранжирования и отношения частного порядка и эквивалентности транзитивны, а медиану Кемени мы отыскиваем в том же классе отношений, - медиана Кемени обладает свойством транзитивности.

Любая пара альтернатив (a_i,a_j) может как принадлежать, так и не принадлежать медиане Кемени. Действительно, пусть мы отыскиваем медиану для единственного множества отношений, состоящего из отношений Р. но в качестве Р можно выбрать как отношение, содержащее пару (a_i,a_j), так и отношение, не содержащее её. Следовательно, медиана Кемени М*(Р₁,...,Р_m)удовлетворяет условию 4.

Выполнение условия 5 для медианы Кемени очевидно. Конкретный вид медианы М*(Р₁,…..Р_m) заранее неизвестен. Отыскание её, вообще говоря, является достаточно сложной оптимизационной задачей, алгоритмы решения которой будут изложены ниже.

Можно также показать, что для медианы Кемени выполняется также и условие 3.

Условие 1 оказывается, вообще говоря, для медианы Кемени невыполнимым.

Медиана Кемени – единственное результирующее, строгое ранжирование, являющееся нейтральным, согласованным и кондорсетовым.

Таким образом, медиана Кемени удовлетворяет принципу выбора Кондорсе, не приводя к парадоксу Кондорсе. С другой стороны, медиана Кемени удовлетворяет условиям 2 – 5 Эрроу, не удовлетворяя лишь условию 1, относительно целесообразности введения которого у исслед. нет единодушия, т.к. мед. Кемени – можно считать одним из наиболее корректных результирующих отношений.