Принципиальной особенностью системного анализа является широкое использование на всех этапах методологии моделей систем. Можно сказать, что модель является основным рабочим инструментом системного анализа. В научном понимании модель – это средство отображения реальной системы. Построение модели есть ничто иное, как своеобразный процесс уясненияобщих свойств системы и закономерностей ее функционирования и развития, т.е. овладение математическими методами построения моделей систем является необходимым условием овладения методологией системного анализа.
В наиболее общем плане системы можно разделить на реальные (материальные) и абстрактные.
Абстрактные системы представляют собой математические модели реальных систем, отражающие основные свойства этих реальных систем. В дальнейшем абстрактную систему в отличие от реальной будем называть математической моделью системы или просто моделью.
Отношения бывает одноместными (унарными), двухместными (бинарными), трехместными (тренарными) и n-местными ( n-арными).
Важную роль в построении моделей играют бинарные отношения.
Пусть дано счетное множество М, определенное в евклидовом пространстве Еn.
Бинарным отношением R на множестве М называется подмножество декартового произведения множества М на себя.
Следовательно, отношение R представляет собой множество упорядоченных пар <x,y> некоторых элементов множества М. Если xМ и yМ и данная упорядоченная пара находится в отношении R, то это записывается в виде: xRy, или <x,y>RM*M.
Примеры отношений:
- отношение равенства x=y;
- отношение порядка x>y;
- отношение старшинства, доминирования: x старше y.
Частным случаем отношений являются функции. Пусть отношение F на множестве М таково, что для всякого xM, для которого справедливо соотношение xFy, т.е. каждому элементу xM ставится в соответствие только один элемент yМ, определенный этим условием. Такое соотношение называется функцией. Эта зависимость между x и y обозначается y=F(x).
Если рассматривать отношение F на упорядоченных парах <x,y>, где xМ, а yL, и если для каждого элемента xМ существует единственный элемент yL, определяемый отношением F, то отношение этого вида также называют функцией или отображением и записывают в виде F: – отображение множества M в L.
Бинарное отношение может быть задано в виде:
- матриц;
- графов;
- сечений (окрестностей) единичного радиуса.
При матричном задании бинарного отношения берут двухвходовую матрицу и каждой строке (столбцу) взаимно однозначно сопоставляется элемент множества М, при этом каждое пересечение взаимно однозначно соответствует элементу множества М*М . Если элементы находятся в отношении М, то на пересечении строки и столбца ставится 1.
Например:
M, тогда М*М- квадратная матрица 5*5, т.е. R={<x1,x4>,<x2,x3>,<x2,x4>,<x3,x1>,<x3,x5>,<x4,x3>,<x4,x5>,<x5,x1>,<x5,x2>}
Если первым элементам упорядоченных пар <xi,xj> поставить в соответствие строки матрицы, а вторым – столбцы, то матрица R имеет вид:
x1 x2 x3 x4 x5
В= 0 1 0 1 0 x1
0 0 1 1 0 x2
1 0 0 0 1 x3
0 0 1 0 1 x4
1 1 0 0 0 x5
Матрица В, задающая бинарное отношение т.о. называется матрицей смежности. Другой способ матричного задания отношения R заключается в построении матрицы А, в которой каждому столбцу взаимно однозначно соответствует элемент множества М, строке – пара <xi,xj>R и a=1, если <xj,xk>R
-1, если <xk,xj>R
0, если <xk,xj>R
Матрица А, заданная таким образом, называется матрицей инцидентности. Для данного примера имеет вид
x1 x2 x3 x4 x5
А= 1 -1 0 0 0 <x1,x2>
1 0 0 -1 0 <x1,x4>
0 1 0 -1 0 <x2,x4>
0 1 -1 0 0 <x2,x3>
-1 0 1 0 0 <x3,x1>
0 0 1 0 -1 <x3,x5>
0 0 0 1 -1 <x4,x5>
0 0 -1 1 0 <x4,x3>
-1 0 0 0 1 <x1,x2>
0 -1 0 0 1 <x5,x2>
При задании отношений с помощью графов, элементы множества М изображаются точками, а стрелки, направленные от М характеризуют заданное отношение R.
При задании отношений сечениями, в отличие от предыдущих, возможно задание отношений на бесконечных множествах.
Рассмотрим отношение R на множестве М.
Верхним сечением R+(x) называется множество элементов yМ, таких что <y,x>R:
Т.о., множество R-(x) – это множество всех элементов yМ, с которыми фиксированный элемент М находиться в отношении R.
R-(x1)={х2,х4} R-(x2)={х3,х4}
Множество R+(x) – это множество всех элементов yМ, которые находятся в отношении R с фиксированным элементом М.
R+(x1)={х3,x5} R+(x2)={х1,x5}
Рассмотрим четыре отношения специального вида:
1. Отношение называется пустым, если оно не выполняется ни для одной пары компонент <х,y>М*М.
Для него справедливо:
- матрица А(0) - такая, что (0)=0 для всех i,j
- граф G(0) не имеет дуг
- R+(x)= R-(x)=М для любого хМ
2. Отношение называется полным(U), если оно выполняется для всех пар <х,y>М*М.
Для него справедливо:
- Матрица А(U)-такая, что (U)=1 для всех i,j;
- граф G(0) такой, что дуги соединяют любую пару вершин;
- R+(x)= R-(x)=М для любого хМ.
3. Отношение называется диагональнымили отношением равенства (Е), если оно выполняется для всех пар <х,y>М*М, состоящих из совпадающих элементов хЕy, если х и y- один и тот же элемент множества М.
Для него справедливо:
- Матрица А(Е)-такая, что (U)=1 при i=j,
0 при ij;
- граф G(0) такой, что присутствуют только петли при всех вершинах, а других нет;
- R+(x)= R-(x)={x} для любого хМ.
4. Отношение называется антидиагональным (Е_), если оно выполняется для всех пар <х,y>М*М, состоящих из несовпадающих элементов.
Для него справедливо:
- Матрица А(Е)-такая, что (U)=0 при i=j
1 при ij
- граф G(0) такой, что присутствуют все дуги <xi,xj> при ij (отсутствуют лишь петли);
М и y
M*M.
– отображение множества M в L.
R
(0)=0 для всех i,j
j;